Matemática, perguntado por pirateonboard02, 5 meses atrás

Se cos x= 2/3 determine o valor de (cotgx)² + (cossecx)² *

13/5
5/13
15/4
4/15

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

O valor correspondente da expressão trigonométrica (cotg x)² + (cossec x)² se situa na opção 1) 13/5.

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Sabendo que cos x = 2/3, desejamos encontrar o valor da expressão:

$\LARGE\quad\begin{array}{l}\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x\end{array}\\\\$

Obs.: Eu prefiro trabalhar com cotg²x + cossec²x do que com (cotg x)² + (cossec x)² por questão de costume mesmo; mas as duas expressões são equivalentes. Para solucionar esta questão, vamos usar algumas identidades trigonométricas a fim de trazer cos²x pra jogada, uma vez que temos o valor de cos x, essa é a ideia. Acompanhe abaixo.

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Inicialmente, como sabemos que a cotangente é o inverso da tangente, e sendo tangente a razão entre seno e cosseno, então surge a identidade cotg x = (cos x)/(sen x):

$\\\large\begin{array}{l}\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\bigg(\dfrac{cos\,x}{sen\,x}\bigg)^{\!\!2}+cossec\:\!^2\,x\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\dfrac{cos\:\!^2\,x}{sen\:\!^2\,x}+cossec\:\!^2\,x\end{array}\\\\$

Sabemos também que a cossecante é o inverso do seno, cossec x = 1/(sen x), sendo assim:

$\\\large\begin{array}{l}\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\dfrac{cos\:\!^2\,x}{sen\:\!^2\,x}+\bigg(\dfrac{1}{sen\,x}\bigg)^{\!\!2}\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\dfrac{cos\:\!^2\,x}{sen\:\!^2\,x}+\dfrac{1}{sen\:\!^2\,x}\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\dfrac{cos\:\!^2\,x+1}{sen\:\!^2\,x}~~~\mathnormal{(\,I\,)}\end{array}\\\\$

Agora para encontrar o valor de sen²x, pensei em usar a seguinte identidade, que também a chamamos de relação fundamental da trigonometria, cos²x + sen²x = 1; bastando substituir 2/3 em cos x:

$\\\begin{array}{l}\sf sen\:\!^2\,x+cos\:\!^2\,x=1\\\\\sf sen\:\!^2\,x+\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^{\!\!2}=1\\\\\sf sen\:\!^2\,x+\dfrac{4}{9}=1\\\\\sf sen\:\!^2\,x=1-\dfrac{4}{9}\\\\\sf sen\:\!^2\,x=\dfrac{9}{9}-\dfrac{4}{9}\\\\\sf sen\:\!^2\,x=\dfrac{5}{9}~~~\mathnormal{(\,II\,)}\end{array}\\\\$

Sendo assim, substituindo ( ɪɪ ) em ( ɪ ) e sabendo que cos x = 2/3 temos:

$\\\large\begin{array}{l}\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\dfrac{\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^{\!\!2}+1}{\dfrac{5}{9}}\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\bigg(\!\dfrac{4}{9}+1\!\bigg)\cdot\dfrac{9}{5}\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\bigg(\dfrac{4}{9}+\dfrac{9}{9}\bigg)\cdot\dfrac{9}{5}\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\dfrac{13}{9}\cdot \dfrac{9}{5}\\\\\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=13\cdot \dfrac{1}{5}\\\\\boldsymbol{\boxed{\sf cotg\:\!^2\,x+cossec\:\!^2\,x=\dfrac{13}{5}}}\end{array}\\\\$

Portanto, a opção 1) 13/5 responde à questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$