Question

se cos x= 12/13 e 0<x<π/2, então tg 2x é:​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.

Sabemos que $\cos(x)=\dfrac{12}{13}$, em que $0<x<\dfrac{\pi}{2}$. Devemos calcular o valor de $\tan(2x)$.

Lembre-se da equação fundamental da trigonometria: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,\forall{x}\in[0,~2\pi]$

Assim, substituímos $\cos(x)=\dfrac{12}{13}$ e calculamos $\sin(x)$:

$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\\\\\\ \sin^2(x)=1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2$

Calcule a potência e some as frações

$\sin^2(x)=1-\dfrac{144}{169}\\\\\\ \sin^2(x)=\dfrac{169-144}{169}\\\\\\ \sin^2(x)=\dfrac{25}{169}$

Calcule a raiz, sabendo que para $0<x<\dfrac{\pi}{2},~\sin(x)>0$

$\sin(x)=\sqrt{\dfrac{25}{169}}\\\\\ \sin(x)=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}\\\\\\ \sin(x)=\dfrac{5}{13}$

Então, lembre-se que $\tan(2x)=\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)},~\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ e $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$. Assim, teremos:

$\tan(2x)=\dfrac{2\cdot\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{12}{13}}{2\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^2-1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$\tan(2x)=\dfrac{\dfrac{120}{169}}{2\cdot\dfrac{144}{169}-1}\\\\\\ \tan(2x)=\dfrac{\dfrac{120}{169}}{\dfrac{288-169}{169}}\\\\\\ \tan(2x)=\dfrac{\dfrac{120}{169}}{\dfrac{119}{169}}\\\\\\ \tan(2x)=\dfrac{120}{119}$

Este é o valor que buscávamos.