Question

Se cos 72º = √5 - 1/4. Determine cos 18º

Answer 1

Sejam a, b ângulos complementares, ou seja, a + b = 90°. Então, sen a = cos b.

Como 72° e 18° são ângulos complementares, então sen 18° = cos 72° ⇒ sen 18° = (√5 - 1)/4.

Usando a relação fundamental da trigonometria:

sen²(18°) + cos²(18°) = 1

(√5 - 1)²/4² + cos²(18°) = 1

(5 - 2√5 + 1)/16 + cos²(18°) = 1

cos²(18°) = 1 - (6 - 2√5)/16

cos²(18°) = 16/16 - (6 - 2√5)/16

cos²(18°) = (16 - 6 + 2√5)/16

cos²(18°) = (10 + 2√5)/16

cos(18°) = √(10 + 2√5)/4

Answer 2

O valor de cos 18º é:

√(10 + 2√5)

        4

Ângulos complementares

Nota-se que 72° e 18° são ângulos complementares, pois sua soma resulta em 90°.

Se a + b = 90°, então, sen a = cos b e cos a = sen b. Isso significa que:

sen 72° = cos 18° ou cos 72° = sen 18°.

Com cos 72° é igual a (√5 - 1)/4, temos:

sen 18° = (√5 - 1)/4

Relação fundamental da trigonometria

sen² x + cos² x = 1

Logo:

sen² 18° + cos² 18° = 1

[(√5 - 1)/4]² + cos² 18° = 1

(√5 - 1)²/4² + cos² 18° = 1

(5 - 2√5 + 1)/16 + cos² 18° = 1

(6 - 2√5)/16 + cos² 18° = 1

cos² 18° = 1 - (6 - 2√5)/16

cos² 18° = 1 - 6 - 2√5

                         16

cos² 18° = 16 - 6 - 2√5

                16        16

cos² 18° = 10 - 2√5

                      16

cos 18° = √(10 + 2√5)

                      √16

cos 18° = √(10 + 2√5)

                      √16

cos 18° = √(10 + 2√5)

                        4

Pratique mais sobre trigonometria em:

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