Se cos 72º = √5 - 1/4. Determine cos 18º
Soluções para a tarefa
Sejam a, b ângulos complementares, ou seja, a + b = 90°. Então, sen a = cos b.
Como 72° e 18° são ângulos complementares, então sen 18° = cos 72° ⇒ sen 18° = (√5 - 1)/4.
Usando a relação fundamental da trigonometria:
sen²(18°) + cos²(18°) = 1
(√5 - 1)²/4² + cos²(18°) = 1
(5 - 2√5 + 1)/16 + cos²(18°) = 1
cos²(18°) = 1 - (6 - 2√5)/16
cos²(18°) = 16/16 - (6 - 2√5)/16
cos²(18°) = (16 - 6 + 2√5)/16
cos²(18°) = (10 + 2√5)/16
cos(18°) = √(10 + 2√5)/4
O valor de cos 18º é:
√(10 + 2√5)
4
Ângulos complementares
Nota-se que 72° e 18° são ângulos complementares, pois sua soma resulta em 90°.
Se a + b = 90°, então, sen a = cos b e cos a = sen b. Isso significa que:
sen 72° = cos 18° ou cos 72° = sen 18°.
Com cos 72° é igual a (√5 - 1)/4, temos:
sen 18° = (√5 - 1)/4
Relação fundamental da trigonometria
sen² x + cos² x = 1
Logo:
sen² 18° + cos² 18° = 1
[(√5 - 1)/4]² + cos² 18° = 1
(√5 - 1)²/4² + cos² 18° = 1
(5 - 2√5 + 1)/16 + cos² 18° = 1
(6 - 2√5)/16 + cos² 18° = 1
cos² 18° = 1 - (6 - 2√5)/16
cos² 18° = 1 - 6 - 2√5
16
cos² 18° = 16 - 6 - 2√5
16 16
cos² 18° = 10 - 2√5
16
cos 18° = √(10 + 2√5)
√16
cos 18° = √(10 + 2√5)
√16
cos 18° = √(10 + 2√5)
4
Pratique mais sobre trigonometria em:
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