Question

Se conhecermos a lei de formação de uma função é possível estabelecer a lei de formação de uma reta tangente a um ponto dessa função. Se a função f(x)= 3x³+x²-2x+1 descreve o movimento de um projétil, a lei de formação da reta tangente a f(x) em x = 1 é:

Alternativas:

a)
g(x) = 7x - 2

b)
g(x) = 9x - 6

c)
g(x) = 3x + 4

d)
g(x) = 2x + 5


me ajuda galera

Answer 1

A derivada de uma função em um certo ponto nos dá o coeficiente angular da reta tangente a essa função nesse ponto.

Equação reduzida da reta tangente:

$y=mx+n$

Onde

$m=f'(a)$
___________________________________

$f(x)=3x^{3}+x^{2}-2x+1$

Vamos avaliar o valor de f(x) em x = 1:

$f(1)=3(1)^{3}+1^{2}-2(1)+1\\\\f(1)=3+1-2+1\\\\\boxed{\boxed{f(1)=3}}$

(A função passa pelo ponto (1,3))

Derivando a função:

$f'(x)=3\cdot3x^{3-1}+2\cdot x^{2-1}-1\cdot2x^{1-1}+0\\\\f'(x)=9x^{2}+2x^{1}-2x^{0}\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=9x^{2}+2x-2}}$

Achando f'(1):

$f'(1)=9(1)^{2}+2(1)-2\\\\f'(1)=9+2-2\\\\\boxed{\boxed{f'(1)=9}}$

Portanto, a reta tangente a f(x) em x = 1 tem equação

$y=9x+n$

Essa reta também passa pelo ponto (1, 3). Portanto:

$3=9\cdot1+n\\\\3=9+n\\\\n=3-9\\\\\boxed{\boxed{n=-6}}$
____________________________

Eq. da reta tangente ao gráfico de f em x = 1:

$\boxed{\boxed{y=9x-6}}$