Question

Se Cn,6=Cn,4 , valor de Cn,7 é um número
A) primo
B) múltiplo de 01
C) múltiplo de 15
D) divisor de 1
e) divisor de 15

Answer 1

Bom dia.

Vamos igualar Cn,6 e Cn,4 para descobrir o valor de 'n'

$C_{n,4}=C_{n,6}\\ \\ \dfrac{n!}{4!.(n-4)!}=\dfrac{n!}{6!.(n-6)!}\\ \\ \\ \dfrac{n!}{n!}=\dfrac{4!(n-4)!}{6!(n-6)!}\\ \\ \\ 1 =\dfrac{\not4!(n-4)(n-5)(n-6)!}{6.5.\not4!(n-6)!}\\ \\ 1 = \dfrac{(n-4)(n-5)}{30}\\ \\ (n-4)(n-5) = 30 \\ \\ n^2-5n-4n+20-30=0\\ \\ n^2-9n-10 = 0$

Resolvemos a equação:

$\Delta =81+40\\ \\ \Delta=121 \to \sqrt{\Delta}=11$

$n=\dfrac{9+11}{2}\\ \\ n = \dfrac{20}{2}\\ \\ n=10$

Peguei apenas o valor positivo, pois não há fatorial negativo.

Bem, posso te mostrar outro modo de encontrar o valor de 'n', aplicando o conceito de simetria de combinações.

Podemos perceber que só há um número entre 4 e 6, que é o 5, logo, 5 é o pinto médio da combinação, e pares de combinasções em distâncias iguais dele terão o mesmo valor (como 4 e 6, 3 e 7...). Temos que as combinações são sucessivas, indo de zero a 'n' (São todos os valores possíveis). Vamos fazer os pares, até chegarmos ao zero:

4 e 6
3 e 7
2 e 8
1 e 9
0 e 10

Chegamos ao zero, então o número 'n' é o simétrico de zero, logo, n = 10

Agora calculamos Cn,7

$C_{10,7}=\dfrac{10!}{7!.(10-7)!}\\ \\ \\ C_{10,7}=\dfrac{10.\not9.\not8.\not7!}{\not7!.\not3.\not2}\\ \\ \\ C_{10,7}=10.3.4\\ \\ \boxed{C_{10,7}=120}$

120 não é primo
120 é múltiplo de 01
120 é múltiplo de 15
120 não é divisor de 01
120 não é divisor de 15

Correto: B e C