Question

Se cada vértice partem 5 diagonais em um polígono regular responda:

(a) Que polígono é esse?(b) Qual é a soma dos ângulos internos? (c) Quanto mede cada ângulo interno? 

Answer 1

Boa tarde!

Se de cada vértice partem 5 diagonais temos 5 vértices 'destino'. De um vértice, para formar uma diagonal, este segmento só não se liga a ele mesmo (ao mesmo vértice) e aos vértices anterior e posterior, que servem para criar um lado. Então, 5 vértices + 3 resultam em 8 vértices no total.
Este polígono é o octógono.
A soma dos ângulos internos é obtida pela fórmula:
$S_n=(n-2)180^{\circ}\\ S_8=(8-2)180^{\circ}=(6)180^{\circ}=1080^{\circ}$

Sendo polígono regular:
$a_n=\frac{S_n}{n}=\frac{1080^{\circ}}{8}=135^{\circ}$

Espero ter ajudado!

Answer 2

d=n (n-3)/2    substitui as diagonais conhecidas.  n=lados
5=n²-3n/2
2x5=n²-3n
10= n² - 3n
n² - 3n -10=0  equação do 2º grau    delta = (-3)² - 4x1x-10 = 9+40 = 49
n= -(-3)+ 7/2    n= 3+7/2= 5
n= 3-7/2     n=-4/2=-2  não serve porque não pode ser negativo.
Então o polígono tem 5 lados sendo um pentágono.
A fórmula da soma dos ângulos é Si=( n-2) x 180 =
                                                  Si=( 5-2) x180     Si= 3x180= 540 
dividindo por n que é 5 fica 108º cada ângulo do pentágono regular.