Question

Se C(n,2)=28, qual é o valor de n?

Answer 1

Olá.

Usaremos a fórmula:
$\mathsf{C_{n,~p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}}\\\\\\\\ \mathsf{C_{n,~2}=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}}\\\\\\ \mathsf{28=\dfrac{n!}{2(n-2)!}}\\\\\\ \mathsf{28\cdot2=\dfrac{n!}{(n-2)!}}\\\\\\ \mathsf{56=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{(n-2)!}}\\\\\\ \mathsf{56=n\cdot(n-1)}\\\\ \mathsf{56=n^2-n}\\\\ \mathsf{n^2-n-56=0}$
Temos aqui uma equação de segundo grau. Podemos fatorar essa equação usando seus múltiplos. 
Primeiro, vamos decompor para encontrar os menores múltiplos:

$\begin{array}{cccc}56&|&2\\28&|&2\\14&|&2\\7&|&7\\1&|&=&2^3\cdot7\end{array}\\\\\boxed{\mathsf{8\cdot7}}$

Sabendo que o 56 é formado por 7 e 8, podemos continuar com essa fatoração.
$\mathsf{n^2-n-56=0}\\\\\mathsf{(n-8)\cdot(n+7)=0}\\\\\mathsf{n-8=0}\\\boxed{\mathsf{n=8}}\\\\\mathsf{n+7=0}\\\boxed{\mathsf{n=-7}}$

Os possíveis resultados para n é 8 e -7. Como fatorial não pode ter valor negativo, a resposta certa é 8.

Vamos testar?

$\mathsf{28=\dfrac{8!}{2!(8-2)!}}\\\\\\ \mathsf{28=\dfrac{8\cdot7\cdot6!}{2\cdot6!}}\\\\\\ \mathsf{28=\dfrac{8\cdot7}{2}}\\\\\\ \mathsf{28=\dfrac{56}{2}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{28=28}}$

Comprovado. 

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.