Question

Se B é a Matriz inversa de A = $\left[\begin{array}{cc}1&2\\1&3&\\&\end{array}\right]$

Answer 1

MATRIZES

Matriz Inversa

Podemos calcular a matriz inversa de três modos:

1° modo:
Trocamos os elementos da diagonal principal e invertemos o sinal dos elementos da diagonal secundária (isto só vale para cálculo de matriz 2x2);

2° modo:
Achando a matriz cofatora e adjunta, (inicialmente calculando o Dt de A);


3° modo:
Sistematizando a matriz dada, pela matriz identidade.



Troca dos elementos e dos sinais

A= | 1  2 |    B=  | 3  -2 |
      | 1  3 |         | -1  1 |

Pela matriz cofatora e adjunta:

 |a11 a12|                        | 1  2 | => Dt=1*3 - 2*1 => Dt=3-2 => Dt=1
 |a21 a22|                        | 1  3 |

Cofatorando a matriz, temos:

$(-1) ^{1+1}*a _{22}=(cof)=(-1) ^{2}*3=(cof)=1*3=(cof)a _{11}=3$

$(-1) ^{1+2}*a _{21}=(cof)=(-1) ^{3}*1=(cof)=(-1)*1=(cof)a _{12}=-1$

$(-1) ^{2+1}*a _{12}=(cof)=(-1) ^{3}*2=(cof)=(-1)*2=(cof)a _{21}=-2$

$(-1) ^{2+2}*a _{11}=(cof)=(-1) ^{4} *1=(cof)=1*1=(cof)a x_{22}=1$

Achada a matriz cofatora, | 3  -1 |, vamos calcular a matriz adjunta, que é trans-
                                      |-2   1 |

posta da matriz cofatora, e ficará assim: | 3  -2 |
                                                           |-1   1 |

Agora, para calcularmos a matriz inversa, basta dividir a matriz adjunta, pelo determinante da matriz A, no caso, será a própria matriz adjunta, pois 1 é elemento neutro da divisão, logo:

B=        | 3  -2 |
            |-1   1 |

Resposta: Sim, B é inversa de A.



Pela matriz identidade:

Usaremos 3 matrizes para cálculo por resolução de sistema:

matriz original | 1   2 |, matriz identidade | 1    0 | e matriz (modelo) | a  c |
                     | 1   3 |                            | 0    1 |                           | b  d |

obs> multiplicaremos a matriz original pela modelo, utilizando os coeficientes da identidade.

Vamos organizar estas matrizes, de modo que, possamos multiplica-las, assim:

| 1   0 |    |    | a   c                 ------- A matriz B, que é inversa de A, ficará aqui
| 0   1 |    |    | b   d                |
-------------   --------------------       |      
| 1   2 |    |   |  3  -2 |          <---
| 1   3 |    |   | -1   1 |

1*a+2*b=1 .:. a+2b=1   multiplicando o sistema por (-1), temos:
1*a+3*b=0 .:. a+3b=0

-a-2b= -1        a+3b=0 .:. a+3*(-1)=0 .:. a-3=0 .:. a=3
 a+3b= 0
      b= -1

c+2d=0  (-1)  .:. -c-2d=0             c+3d=1 .:. c+3*1=1 .:. c+3=1 .:. c=-2       
c+3d=1              c+3d=1
                              d=1

Observe que deu o mesmo valor, pelo cálculo da matriz cofatora.


espero ter ajudado ;).