Question

Se as soluções da equação algébrica 2x3−ax2+bx+54=0, com coeficientes a,b∈R, b≠0, formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, ab é igual a:

a.
3.

b.
−3.

c.
−13.

d.
1.

e.
13.

Answer 1

Resposta:

2x³−ax²+bx+54=0

x1 + x2 + x3 = – b/a    (i)

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a    (ii)

x1 * x2 * x3 = – d/a  (iii)

q é a raiz da PG

x1=α/q  

x2=α

x3=q*α

Usando (iii)

α/q * α * q*α = -54/2

α³=-27   ==>α=-3   ==> x2=-3

2(-3)³−a*(-3)²+b*(-3)+54=0

-54 - 9a  -3b +54=0

9a =-3b

3a=-b

a/b =-1/3

Answer 2

$\displaystyle \sf 2x^3-ax^2+bx+54=0 \\\\ Ra{\'i}}zes\ em \ PG \to \left(\frac{x}{q},\ x ,\ x\cdot q\right) \\\\\\ \text{Rela{\c c}{\~a}o de Girard \ (Produto\ das \ raizes)}: \\\\ \frac{x}{q}\cdot x\cdot x\cdot q = \frac{-54}{2} \\\\ x^3=-27 \\\\ \boxed{\sf x=-3} \\\\ Fazendo \ P(-3)=0 \\\\\ 2\cdot(-3)^3-a\cdot(-3)^2+b\cdot(-3)+54=0 \\\\ -54-9a-3b+54=0 \\\\\ -9a-3b=0 \\\\ -9a=3b\\\\ \frac{a}{b}=\frac{3}{-9} \\\\\\ \boxed{\sf \frac{a}{b}=\frac{-1}{3} }\checkmark$