Question

Se as raízes da equação 2x²-5x-4 = 0
São m e n, o valor de 1/m + 1/n é igual a?

Answer 1

Equação de 2º grau: 2x² - 5x - 4 = 0

. a = 2, b = - 5, c = - 4

.delta = (- 5)² - 4 . 2 . (- 4) = 25 + 32 = 57

m = (5 + raiz de 57)/4 e n = (5 - raiz de 57)/4

1 / m + 1 / n = 1 / (5 + raiz de 57)/4 + 1 / (5 - raiz de 57)/4

= 4 / (5 + raiz de 57) + 4 / (5 - raiz de 57)

= 4 . ( 5 - raiz de 57) + 4 . ( 5 + raiz de 57) / (5² - (raiz de 57)² )

= (20 - 4.raiz de 57 + 20 + 4.raiz de 57) / ( 25 - 57 )

= 40 / ( - 32 ) ( simplifica por 8 )

= - 5 / 4

Answer 2

Nas condições dadas, o valor de

$\Large\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$

é igual a

$\Large-\dfrac{5}{4}.$

_____

Seja uma equação do segundo grau da forma

$\Largeax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)$

cujas raízes são $r_1$ e $r_2.$

Pelas relações de Girard, temos:

$\Large\begin{cases}r_1+r_2=-\dfrac{b}{a}\\\\r_1\cdot r_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}$

Desse modo, para a equação

$\Large2x^2-5x-4=0,$

cujas raízes são $m$ e $n,$ valem as seguintes relações:

$\Large\begin{cases}m+n=-\dfrac{(-5)}{2}=\dfrac{5}{2}\\\\m\cdot n=\dfrac{-4}{2}=-2\end{cases}$

A questão pede o valor de

$\Large\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}.$

Manipulando algebricamente esta última expressão, temos:

$\Large\begin{aligned}\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}&=\dfrac{m+n}{m\cdot n}.\end{aligned}$

Veja que o numerador corresponde à soma das raízes e o denominador, ao produto delas.

Como $m+n=\dfrac{5}{2}$ e $mn=-2,$ seque que:

$\Large\begin{aligned}\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}&=\dfrac{m+n}{m\cdot n}\\\\&=\dfrac{\dfrac{5}{2}}{-2}\\\\&=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{-2}\\\\&=\dfrac{5\cdot1}{2\cdot(-2)}\\\\&=-\dfrac{5}{4}.\end{aligned}$

Portanto, o valor procurado é igual a

$\Large\boxed{\boxed{\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=-\dfrac{5}{4}.}}$

Para aprender mais sobre equações do segundo grau, acesse os links a seguir:

• brainly.com.br/tarefa/47211771;
• brainly.com.br/tarefa/46366727.