Question

se alguém puder me ajudar agradecerei

Answer 1

A equação é do 4° grau logo admite 4 raízes. Como 3 é raiz de multiplicidade 3 resta achar mais uma. Testando as alternativas a correta é a c. {2,3}

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Brucandelario, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Antes de iniciar, veja que quando se fala que uma raiz de uma determinada função tem multiplicidade "n", isto significa que essa função tem "n" raízes iguais.

ii) Então, no caso da sua questão, cuja equação é esta:

x⁴ - 9x³ + 30x² - 44x + 24 = 0, e como a raíz x = 2 tem multiplicidade "3" ,isso significa que a equação acima tem três raízes iguais a "2". E como a equação é do 4º grau, ela terá 4 raízes. Como já temos que há três raízes iguais a "2", então resta encontrar apenas a 4ª raiz, que vamos chamá-la de um certo "k".

iii) Antes veja que uma equação do tipo ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, com raízes iguais a x'; x''; x''' e x'''', poderá ser expressa em função de suas raízes da seguinte forma:

a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''')*(x-x'''') = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

iv) Assim, tendo o que se viu aí em cima como parâmetro, então vamos expressar a equação da sua questão em função de suas raízes e vamos igualar à função dada. Assim, considerando que a equação da sua questão tem 3 raízes iguais a "2" e uma raiz igual a "k", faremos isto:

a*(x-2)*(x-2)*(x-2)*(x-k) = x⁴ - 9x³ + 30x² - 44x + 24 = 0

Como já vimos que o termo "a" é igual a "1" (que é o coeficiente de x⁴), ficaremos assim:

1*(x-2)*(x-2)*(x-2)*(x-k) = x⁴ - 9x³ + 30x² - 44x + 24 = 0 --- ou apenas:
(x-2)*(x-2)*(x-2)*(x-k) = x⁴ - 9x³ + 30x² - 44x + 24 = 0 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, iremos ficar exatamente da seguinte forma (já colocando tudo na ordem):

x⁴ - 6x³-kx³ + 6kx²+12x² - 8x-12kx + 8k = x⁴ - 9x³ + 30x² - 44x + 24 = 0 ---agora vamos colocar em evidência os termos que forem comuns a vários fatores aí em cima. Então fazendo isso, teremos:

x⁴ - (6+k)x³ +(6k+12)x² - (8+12k)x + 8k = x⁴ - 9x³ + 30x² - 44x + 24 = 0

Agora veja isto e não esqueça mais: temos duas funções que são exatamente iguais.Então deveremos fazer o seguinte: igualaremos os coeficientes de cada termo da equação do 1º membro com os respectivos coeficientes da equação do 2º membro. Fazendo isso, teremos:

iv.1)  Para o x⁴ do 1º membro e o x⁴ do 2º membro não há o que fazer, pois o coeficiente de x⁴ do 1º membro é "1" e o coeficiente de x⁴ do 2º membro também é "1". Iríamos fazer a igualdade assim: 1 = 1 (o que é óbvio).

iv.2) Para x³ do 1º membro temos o coeficiente "-(6+k)" e, no 2º membro, temos "-9". Assim, faremos:

- (6+k) = - 9 ---- retirando-se os parênteses, ficaremos assim:
-6 - k = - 9 ---- passando "-6" para o 2º membro, teremos:
- k = - 9 + 6
- k = -3 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
k = 3 <---Este é o possível valor de "k" (que é a 4ª raiz).
Mas vamos ver se isso se confirma ao encontrarmos os demais valores para "k".

iv.3) Para x² do 1º membro temos o coeficiente "(6k+12)" e, no 2º membro, temos "30". Assim, faremos:

6k + 12 = 30 --- passando "12' para o 2º membro, teremos:
6k = 30 - 12
6k = 18
k = 18/6
k = 3 <--- Veja que encontramos, novamente, que k = 3. Mas vamos pra frente, pra saber se sempre encontraremos que a 4ª raiz (k) será igual a "3" mesmo.

iv.4)  Para x do 1º membro temos o coeficiente "-(8+12k)" e, no 2º membro, temos "-44". Assim, faremos:

- (8+12k) = - 44 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
- 8 - 12k = - 44 ---- passando "-8" para o 2º membro, temos:
- 12k = - 44 + 8
- 12k = - 36 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
12k = 36
k = 36/12
k = 3 <--- Veja que, novamente, encontramos que k = 3 (que é a 4ª raiz). Mas vamos pra frente. Falta apenas mais uma igualdade.

iv.5) Para o termo independente do 1º membro temos que o coeficiente é "8k"; e, no 2º membro temos "24". Assim, teremos:

8k = 24
k = 24/8
k = 3 <--- Veja que encontramos, novamente, que k = 3, o que nos leva a informar que a 4ª raiz será igual a "3". Logo:

k = 3 <--- Este será o valor "k", que é a 4ª raiz da equação da sua questão.

v) Assim, resumindo, temos que: como há três raízes iguais a "2" e temos a 4ª raiz que acabamos de encontrar, que é k = 3, então teremos que o conjunto-solução será este:

S = {2; 3} <--- Esta é a resposta. Opção "c".

Observação importante: note que quando uma raiz se repete (como no caso da sua questão em que a raiz "2" tem multiplicidade "3"), então, no conjunto-solução, coloca-se esse número apenas uma vez. Ou seja, em vez de darmos o conjunto-solução como se fosse: S = {2; 2; 2; 3}, então basta fazer como está dado no item "c", que é: S = {2; 3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.