Question

Se alguém puder me ajudar a resolver essa questão, já tentei de diversas maneiras mas não chego a um resultado​! A pergunta está anexada!

Answer 1

Resposta:

c) 4 ≤ k ≤ 144

Explicação passo-a-passo:

Basicamente vc precisaria resolver o sistema.

$\phantom{A} \begin{center} \begin{cases} x^2-6x+y^2 + 8y = 24 & (I) \\[2ex]x^2+y^2 = k &(II)\end{cases} \end{center} \phantom{A}$

Esse sistema pode ser feito na "força bruta". Mas tem uma maneira fácil de achar k sem resolver. Observe que a equação ( I ) pode ser escrita como:

x² - 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 9+16+24

(x-3)² + (y+4)² = 49

Ou seja, essa equação representa uma circunferência de raio 7 com centro no ponto (3,-4)

Ja a equação ( II ) representa uma circunferencia de raio k e centro (0,0). Assim, resolver o sistema é achar a interseção dessas circunferencias. Para isso a interseção deve existir. Como (0,0) esta dentro da circunferencia ( I ) temos dois casos. Sabemos que a distancia entre os centros é

√(3²+4²) = 5 e os raios sao 7 e √k.

1º caso: se k é muito pequeno, as circunferencia ( II ) fica inteiramente dentro de ( I ). Para isso nao acontecer devemos ter (faça um desenho para acreditar)

√k ≥ 7-5 = 2

k ≥ 4

2º caso: Se k é muito grande, a circunferencia ( I ) fica inteiramente dentro de ( II ). Para evitar isso devemos ter:

7 ≥ √k - 5

√k ≤ 12

k ≤ 144

Portanto, letra c é a resposta.