Question

“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções:
I. A soma dos $n$ primeiros números ímpares é $n^{2} ,n\geq 1.$

porque
II. Dados os números ímpares: $1,3,5,7,9,11,...2n-1$ $n$$natural$$n\ \textgreater \ 0$se tivermos dois ímpares
$n=2$ a soma sera $S=1+3=4=2^2$e se tivermos$5$números ímpares a soma será $S=1+3+5+7+9=25=5^2$
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A)As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
B)As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da primeira.
C)A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
D)A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E)As asserções I e II são proposições falsas.

Answer 1

a resposta correta é a letra A

Answer 2

Vamos provar a veracidade da primeira afirmação usando o Princípio de Indução Finita:

1) Passo base:

Para n = 1, temos:

$1 = {1}^{2}$
Logo, vale para n = 1.

2) Hipótese indutiva:

Suponhamos que a proposição vale para algum k natural arbitrário, ou seja,

$1 + 2 +... + 2k - 1 = {k}^{2}$

Devemos mostrar que vale para k + 1:

$1 + 2 + ... + 2(k + 1) - 1 = {(k + 1)}^{2}$

Temos, por hipótese, que:

$1 + 2 + ... + 2k - 1 = {k}^{2}$

Somando em ambos os membros:

$2(k + 1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1$

segue que:

$1 + 2 + ... + 2k + 1 = {k}^{2} + 2k + 1 \\ 1 + 2 + ... + 2k + 1 = {(k + 1)}^{2}$

que é o que queríamos demonstrar. ◾

Assim, a afirmação I é verdadeira, como também o é a segunda. Porém, a segunda afirmação não é uma justificativa da primeira, pois aquela só prova para alguns casos particulares. Para ser verdadeira tem que ser provada para todos os casos aos quais se referem a proposição dada. Provou-se isso usando o PIF.

Alternativa A).