Question

Se admitirmos que a população mundial cresça 1,7% a cada ano,em quantos anos a população mundial duplica? ( use as aproximações In 2 aproximadamente 0,697 e In 1, 017 aproximadamente 0,017)

Answer 1

População inicial: P₀
População após 1 ano: P₁ = P₀ + (1,7% de P₀) = P₀ + 0,017P₀ = 1,017P₀
'' após 2 anos: P₂ = P₁ + (1,7% de P₁) = 1,017P₁ = 1,017(1,017P₀)=P₀(10,17)²
'' após 3 anos: P₃ = 1,017P₂ = 1,017 . P₀(1,017)² =P₀(1,017)³

Portanto, após 'n' anos, podemos mostrar por indução matemática que a população mundial 'Pn' será dada pela fórmula

$\boxed{\boxed{P_{n}=P_{0}\cdot(1,017)^{n}}}$
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A população mundial duplicará quando Pn = 2P₀

$P_{n}=P_{0}(1,017)^{n}\\\\2\cdot P_{0}=P_{0}\cdot(1,017)^{n}$

Cortando P₀:

$(1,017)^{n}=2$

Não conseguimos resolver essa equação exponencial sem utilizar logaritmos. Aplicando ln nos dois lados da igualdade:

$ln(1,017)^{n}=ln(2)\\\\n\cdot ln(1,017)=ln(2)$

Usando as aproximações dadas:

$n\cdot0,017\approx0,697~~~\therefore~~~n\approx\dfrac{0,697}{0,017}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{n\approx41}}$

A população mundial duplicará em cerca de 41 anos