Question

Se adistancia do ponto P(0,p) a reta, de equaçao 4x+3y-2=0, e igual a 2 determine a coordenada p

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos que a fórmula da distância entre o ponto e reta é dada por:

$\boxed{d = \frac{ |ax_{o} + by_o + c | }{ \sqrt{a {}^{2} + c {}^{2} } }}$

Os elementos Xo e Yo são os valores da abscissa e ordenada do ponto P.

$\boxed{ P(0,p) \rightarrow xo = 0 \: \: \: yo = p }$

Os valores de a, b e c são os valores dos coeficientes da equação geral da reta.

$\begin{cases}4x + 3y - 2 = 0 \\ \\ a = 4 \\ b = 3 \\ c = - 2\end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$d = \frac{ |4.0 + 3.p+ ( - 2) | }{ \sqrt{4 {}^{2} + 3 {}^{2} } } \\ \\ d = \frac{ |0 + 3p - 2| }{ \sqrt{16 + 9} } \\ \\ d = \frac{ |3p - 2 | }{ \sqrt{25} } \\ \\ \boxed{d = \frac{ |3p - 2| }{5} }$

A questão disse que a distância "d" mede 5

2, então vamos substituir:

$2= \frac{ |3p - 2| }{5} \\ \\ 2.5 = |3p - 2| \\ \\ |3p - 2| = 10$

Aqui devemos usar a propriedade de módulo, dada por:

$\boxed{A = B \: \: ou \: \: A = - B}$

Portanto vamos ter que:

$3p - 2 = \pm10 \\ \\ i)3p - 2 = 10 \\ 3p = 10 + 2 \\ 3p = 12 \\ p = \frac{12}{3} \\ \boxed{p = 4} \\ \\ ii)3p - 2 = - 10 \\ 3p = - 10 + 2 \\ 3p = - 8 \\ \boxed{p = \frac{ - 8}{3} }$

Esses são os possíveis valores de P.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️