Question

Se a1,a2 ,a3 ( ,…) é uma progressão aritmética de razão −2 e b1,b2 ,b3 ( ,…) e uma progressão geométrica de razão 3, sabendo que a1 = b1 +3 e a2 = b2 −3 , o valor de b4 é

Answer 1

Para a PA a1,a2,a3... tem-se :

r = an - a(n-1)

r → Razão de crescimento;
n → N-ésima posição...

Se usarmos n = 2, temos :

r = a2 - a(2-1)

r = a2 - a1

Sendo r = -2 :

a2 - a1 = -2

Temos que a1 = b1 + 3 e a2 = b2 - 3 :

b2 - 3 - (b1 + 3) = -2

b2 - 3 - b1 - 3 = -2 

b2 - b1 = -2 + 3 + 3

b2 - b1 = 4

b2 = 4 + b1 ⇒ 1ª relação !

Para a PG b1, b2, b3... tem-se :

q = bn / b(n-1)

q → Razão de multiplicação;
n → N-ésima posição...

Se fizermos n = 2 :

q = b2 / b(2-1)

q = b2 / b1 

Sendo q = 3 :

3 = b2 / b1 

b1 * 3 = b2

Da 1ª relação, b2  = 4 + b1 :

3 * b1 =  4 + b1

3 * b1 - b1 = 4

2 * b1 = 4

b1 = 4 / 2

b1 = 2 ⇒ Este é o primeiro termo da PG !

Agora, podemos usar a fórmula do termo geral da PG :

bn = b1 * q^(n-1) 

bn → N-ésimo termo da PG;
b1 → Primeiro termo da PG;
 q  → Razão de multiplicação da PG;
 n  → N-ésima posição da PG...

Sendo, para descobrirmos b4 ⇒
b1 = 2;
q = 3;
n = 4...

b4 = 2 * 3^(4 - 1)

b4 = 2 * 3³

b4 = 2 * 27

b4 = 54 ⇒ Este é o quarto termo  da PG !