Question

Se a= xy/x+y , b= yz/y+z , c=zx/z+x , em que a,b,c são diferentes de zero,então x é igual a:

A)abc/ab+bc+ac
B)2abc/ab+bc+ac
C)2abc/ab-vc+ac
D)2abc/-ab+bc+ac
E)2abc/ab+bc-ac

Gabarito:E

Answer 1

X é igual a $x=\frac{2abc}{ab+bc-ac}$.

Como b está em função de y e z, então através de $a=\frac{xy}{x+y}$ e $b=\frac{xz}{x+z}$ vamos encontrar os valores de y e z e depois substituir em b.

Sendo assim, temos que:

$a=\frac{xy}{x+y}$

a(x + y) = xy

ax + ay = xy

ax = xy - ay

ax = y(x - a)

$y=\frac{ax}{x-a}$.

Da mesma forma, temos que:

$c=\frac{xz}{x+z}$

c(x + z) = xz

xc + zc = xz

xc = xz - zc

xc = z(x - c)

$z=\frac{xc}{x-c}$.

Com os valores de y e z, vamos substituí-los em b:

$b=\frac{yz}{y+z}$

b(y + z) = yz

$b(\frac{ax}{x-a}+\frac{xc}{x-c})=\frac{ax}{x-a}.\frac{xc}{x-c}$

$b(\frac{ax(x-c)+xc(x-a)}{(x-a)(x-c)})=\frac{acx^2}{(x-a)(x-c)}$

Como os denominadores são iguais em ambos os lados da igualdade, então podemos trabalhar apenas com os numeradores:

b(ax² - acx + cx² - acx) = acx²

abx² - abcx + bcx² - abcx = acx²

abx² + bcx² - acx² = 2abcx

x²(ab + bc - ac) = 2abcx

x(ab + bc - ac) = 2abc

$x=\frac{2abc}{ab+bc-ac}$.