Question

se A(X)=x+x+ax+b e B(x)=x²+2bx-a sao ambos divisiveis por x-2, calcule o produto a.b

Answer 1

Inicialmente, peço que confira a expressão do polinômio A(x), já que a escrita dele está um pouco fora do usual.
Caso perceba que há algum erro no enunciado, comente e eu editarei.

Prosseguindo...

Como os dois polinômios são divisíveis por (x-2), temos que x=2 é raíz de A(x) e B(x), isto é, A(2)=0 e B(2)=0. Assim:

$A(x)=x+x+ax+b=2x+ax+b\\\\ A(x)=(2+a)x+b\\\\ A(2)=(2+a)\cdot2+b\to\text{Como A(2)=0:}\\\\ 0=(2+a)\cdot2+b\\\\ 4+2a+b=0\\\\ b=-2a-4~~(i)\\\\\\ B(x)=x^2+2bx-a\\\\ B(2)=2^2+2b\cdot2-a\\\\ B(2)=4+4b-a\to\text{Como B(2)=0:}\\\\ 0=4+4b-a\\\\ a-4b-4=0~~(ii)$

Substituindo a expressão de b vista em (i) na equação (ii):

$a-4b-4=0\\\\ a-4(-2a-4)-4=0\\\\ a+8a+16-4=0\\\\ 9a+12=0\\\\ 9a=-12\\\\ a=-\dfrac{12}{9}\\\\ \boxed{a=-\dfrac{4}{3}}$

Substituindo o valor de a encontrado acima na expressão (i):

$b=-2a-4\\\\ b=-2\cdot\dfrac{-4}{3}-4\\\\ b=\dfrac{8}{3}-4\\\\ b=\dfrac{8}{3}-\dfrac{12}{3}\\\\ \boxed{b=-\dfrac{4}{3}}$

Calculando o produto pedido:

$a\cdot b=\left(-\dfrac{4}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)\\\\ \boxed{\boxed{a\cdot b=\dfrac{16}{9}}}$