Question

Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode serconsiderada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qualserá o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?

Answer 1

Por conveniência, vou mudar o nome da variável.

A taxa de crescimento da população de uma cidade no instante $\mathtt{t}$ (contando a partir de hoje) é dada pela função

$\mathtt{f(t)=117+200t~~~~~~{t\ge 0}}$

sendo t medido em anos.


A taxa de crescimento da população é uma função derivada (que neste caso será uma função polinomial).

A função $\mathtt{P(t)}$ que informa o número de habitantes daqui a $\mathtt{t}$ anos é uma primitiva da função $\mathtt{f(t)}.$

$\texttt{Quando }\mathtt{t=0~~\Rightarrow~~P(0)=10\,000}$


Para descobrir a população daqui a 5 anos, podemos calcular diretamente a integral definida de 0 a 5:

$\displaystyle\mathtt{\int_0^5 f(t)\,dt=P(5)-P(0)}\\\\\\ \mathtt{P(5)=P(0)+\int_0^5 f(t)\,dt}\\\\\\ \mathtt{P(5)=10\,000+\int_0^5 (117+200t)\,dt}\\\\\\ \mathtt{P(5)=10\,000+(117t+100t^2)\big|_0^5}\\\\ \mathtt{P(5)=10\,000+(117\cdot 5+100\cdot 5^2)-(117\cdot 0+100\cdot 0^2)}\\\\ \mathtt{P(5)=10\,000+585+2\,500}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{P(5)=13\,085\texttt{ pessoas}} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)