Question

Se a soma entre os quadrados de dois números inteiros e não nulos é igual a 100 e o produto entre eles é 48, qual é o valor desses dois números?

Answer 1

Resposta: 6 e  8.

Olá boa tarde!

Sejam x e y os dois números. A soma entre os quadrados desses números é 100, ou seja:

(i) x² + y² = 100

O produto entre eles é 48, ou seja:

(ii) x.y = 48 → (iii) x = 48/y

Sabemos dos produtos notáveis que:

(x + y)² = x² + 2.x.y + y²

(x + y)² = x² + y² + 2.x.y

(x + y)² = 100 + 2.48

(x + y)² = 100 + 96

(x + y)² = 196

Como ambos os membros são números positivos, podemos extrair a raiz e teremos a equação:

(iv) x + y = 14

Monta-se um sistema de equações entre (iii) e (iv):

(iii) x = 48/y

(iv) x + y = 14

48/y + y = 14

Multiplicando todos os termos por y:

48 + y² = 14y

y² - 14y + 48 = 0

Equação do segundo grau: a = 1 ; b = -14 ; c = 48

Δ = b² - 4.a.c

Δ = -14² - 4 . 1 . 48

Δ = 196 - 4. 1 . 48

Δ = 4

y = (-b ± √Δ)/2a

y' = (14 + √4)/2     y'' = (14 - √4)/2

y' = 16 / 2             y'' = 12 / 2

y' = 8                  y'' = 6

Substituindo:

x = 48/y

x' = 48/6 = 8

x" = 48/8 = 6

Os números são 6 e 8