Question

Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 14 e seu produto é 64, então sendo a, b e c os três primeiros termos, o valor de a + b² + c³ é igual a ?

Answer 1

Primeiro temos que pensar no seguinte

$(a,b,c)=\left(x*r,x,\frac{x}{r}\right)$

já que é uma pg...

agora o produto deles é 64 então vamos lá

$x*r*x*\frac{x}{r}=64$

$x^3=64$

$x=\sqrt[3]{64}$

$\boxed{x=4}$

agora a soma deles é 14

$\left(x*r,x,\frac{x}{r}\right)=\left(4*r,4,\frac{4}{r}\right)$

$4*r+4+\frac{4}{r}=14$

$4*r+\frac{4}{r}=10$

multiplica tudo por $\frac{1}{2}*r$

$2r^2+2=5r$

$2r^2-5r+2=0$

Resolvendo por Bháskara ou soma e produto

$\boxed{\boxed{r_1=\frac{1}{2}~~e~~r_2=2}}$

como temos uma PG decrescente, a nossa resposta é $\boxed{\boxed{r=2}}$

$(a,b,c)=\left(x*r,x,\frac{x}{r}\right)$

$(a,b,c)=\left(4*r,4,\frac{4}{r}\right)$

$(a,b,c)=\left(4*2,4,\frac{4}{2}\right)$

$\boxed{\boxed{(a,b,c)=\left(8,4,2\right)}}$

agora

$\boxed{\boxed{\boxed{a+b^2+c^3=8+4^2+2^3=32}}}$