Question

se a soma dos dois quadrados verdes da figura é 80 cm² a área de toda a figura é 144cm² a m>n, sendo m e n numeros naturais, quais são os valores de m e n?​

Answer 1

Resposta:

m=8 e n=4

Explicação passo-a-passo:

m²+n²=80  (I) (área verde)

(m+n)²=144 (área do quadrado) => m²+2mn+n²=144 (II)

Para resolver o sistema:

(II)-(I)

2mn=144-80

2mn=64

mn=64/2

mn=32

n=32/m (III)

Substituindo n=32/m em (I)

m²+(32/m)²=80

m²+32²/m²=80

m⁴+32²=80m²

m⁴-80m²+32²=0

m⁴-80m²+1024=0

Chamando m²=x (IV)

x²-80x+1024=0

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~x^{2}-80x+1024=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-80~e~c=1024\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-80)^{2}-4(1)(1024)=6400-(4096)=2304\\\\x^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-80)-\sqrt{2304}}{2(1)}=\frac{80-48}{2}=\frac{32}{2}=16\\\\x^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-80)+\sqrt{2304}}{2(1)}=\frac{80+48}{2}=\frac{128}{2}=64\\\\S=\{16,~64\}$

Substituindo x=16 em (IV)

m²=16

m=√16=4

Substituindo m=4 em (III)

n=32/4=8

m<n não pode conforme desenho

Substituindo x=64 em (IV)

m²=64

m=√64=8

Substituindo m=8 em (III)

n=32/8=4

m>n  pode conforme desenho

Answer 2

Sendo m e n números naturais, os valores de m e n são 8 e 4, respectivamente.

Como a área do quadrado formado por toda a figura é igual a 144cm² e seus lados são formados pela soma m+n, é possível perceber, pela fórmula da área do quadrado, que:

$(m+n)^{2} = 144\\m+n = \sqrt{144} \\m+n = 12\\m = 12-n~~ (I)$

Além disso, cabe observar que a expressão (m+n)² é um produto notável da forma quadrado da soma e, assim, pode ser expressa por m²+2mn+n². Assim:

$(m+n)^{2} = 144\\m^{2} +2mn+n^{2} =144$

A soma das áreas dos dois quadrados verdes é igual a 80cm². Observa-se que a área de cada um deles é igual a m² e n². Portanto, pode-se substituí-los por 80 na equação anterior:

$(m+n)^{2} = 144\\m^{2} +2mn+n^{2} =144\\2mn + 80 = 144\\2mn = 144-80\\2mn = 64\\mn = 32~~(II)$

Como foi obtido na equação (I) que m = 12 - n, basta substituir m por 12-n na equação (II). Dessa forma:

$m\cdot n = 32\\(12-n)\cdot n = 32\\12\cdot n - n^{2} = 32\\n^{2} - 12n = -32\\n^{2} - 12n +32 = 0$

Foi obtida uma equação de 2º grau. Para resolvê-la, basta utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ= $b^{2} -4ac$

Δ= $(-12)^{2} - 4\cdot 1\cdot 32$

Δ = $144-128=16$

$n = \frac{-b \± \sqrt{ \bigtriangleup}}{2\cdot a} \\\\n = \frac{-(-12)\± \sqrt{16} }{2\cdot 1}\\\\n = \frac{12\±4}{2} \\\\\\\\n' = \frac{12+4}{2}= \frac{16}{2} = 8\\\\n'' = \frac{12-4}{2}= \frac{8}{2} = 4$

Adotando n como 8, como m x n = 32, m seria igual a 4. Entretanto, como dado pelo enunciado, m>n, assim, a única alternativa possível é que m seja 8 e n seja igual a 4. Portanto, os valores de m e n são 8 e 4, respectivamente.

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