se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:
Soluções para a tarefa
S10 = (a1 + an).10/2
50 = (a1 + an).5 ⇒ (a1 + an) = 10 ⇒ (a1 + a1 + 9r) = 10 ⇒ 2a1 + 9r = 10
S20 = (a1 + an).20/2
50 = (a1 + an).10 ⇒ (a1 + an) = 5 ⇒ (a1 + a1 + 19r) = 5 ⇒ 2a1 + 19r = 5
2a1 + 9r = 10 (x -1)
2a1 + 19r = 5
-2a1 - 9r = -10
2a1 + 19r = 5
---------------------- +
10r = -5 ⇒ r = -5/10 ⇒ r = -1/2
Substituindo r = -1/2 em uma das equações: 2a1 + 19.(-1/2) = 5
2a1 - 19/2 = 5
2a1 = 5 + 19/2
2a1 = (10 + 19)/2
2a1 = 29/2
a1 = 29/4
a30 = a1 + (n-1).r
a30 = 29/4 + (29-1).(-1/2)
a30 = 29/4 -1/2(29)
a30 = 29/4 - 29/2
a30 = (29 - 58)/4 = -29/4
S30 = (a1 + an).30/2
S30 = (29/4 -29/4).15
S30 = 0.15
S30 = 0
Resposta: 0
Espero ter ajudado.
A soma dos 30 primeiros termos é 0.
Progressão aritmética
Uma progressão aritmética é caracterizada por uma sequência de valores crescentes ou decrescentes, onde a diferença entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.A. é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r, sendo r é a razão calculada por r = aₙ - aₙ₋₁.
Sabemos que a soma dos 10 primeiros termos é 50 assim como a soma dos 20 primeiros termos, ou seja:
S₁₀ = S₂₀ = 50
Seja a soma dos n primeiros termos dada por Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2, temos que:
(a₁ + a₁₀)·10/2 = 50
a₁ + a₁₀ = 10
(a₁ + a₂₀)·20/2 = 50
a₁ + a₂₀ = 5
Substituindo a₁₀ e a₂₀ pelo termo geral:
a₁ + a₁ + 9·r = 10 ⇒ 2·a₁ + 9·r = 10
a₁ + a₁ + 19·r = 5 ⇒ 2·a₁ + 19·r = 5
Subtraindo as equações:
10·r = -5
r = -1/2
O primeiro termo é:
2·a₁ = 10 - 9·(-1/2)
a₁ = 10 + 9/2
a₁ = 29/4
O 30º termo será:
a₃₀ = 29/4 + (30-1)·(-1/2)
a₃₀ = 29/4 - 29/2
a₃₀ = -29/4
A soma dos 30 primeiros termos é:
S₃₀ = (29/4 - 29/4)·30/2
S₃₀ = 0
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