Question

Se a sequência (8 - x, x, 12 + x), onde e x e um número positivo forma a progressão geometria, então determine a soma dos três termos dessa PG.

a)18
b)26
c)20
d)21
e) NDA

ajuddaaaaa por favor preciso dos cálculos​

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e cálculos concluímos  que a soma dos três termos dessa P.G., é de $\large \displaystyle \mathsf{ a_1 +a_2 +a_3 = 26 }$ e tendo como alternativa correta a letra B.

Progressão geométrica ( P.G. ) é a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real. Essa constante é chamada razão da P.G. e é indicada por q.

Exemplo:

A sequência ( 1, 3, 9, 27, 81 ), é uma P. G. de razão q = 3, pois:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{3}{1} = \dfrac{9}{3} = \dfrac{27}{9} = \dfrac{81}{27} = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 3 } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf (8 - x, x, 12 + x) \\ \sf x =\:? \\ \sf a_1 + a_2 +a_3 = \:? \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = 8 -x \\ \sf a_2 = x \\ \sf a_3 = 12 +x \end{cases} } }$

Para que esses números formem uma P.G. , eles devem ser diferente de zero e demos ter:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{x}{8 -x} = \dfrac{12+x}{x} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ x \cdot x = (8-x) \cdot (12+x) }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} = 96 +8x -12x -x^{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} = 96 -4x -x^{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} + x^{2} +4x - 96 =0 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 2x^{2} +4x - 96 =0 } }$

Determinar o Δ:

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 4^2 -\:4 \cdot 2 \cdot (-96) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 16+768 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta = 784 }$

Determinar as raízes da equação:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\: 4 \pm \sqrt{ 784 } }{2 \cdot 2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\: 4 \pm 28 }{4} \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{-\:4 + 28}{4} = \dfrac{24}{4} = \:6 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{-\:4 - 28}{4} = \dfrac{- 32}{4} = - 8\end{cases} } }$

O enunciado  diz que x é um número positivo que forma a progressão geométrica, logo o valor de x = 6,  e o valor de x= - 8  não serve.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 2 } \\ \sf a_2 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 6 } \\ \sf a_3 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 18} \end{cases} } }$

A soma dos três termos dessa P.G., é:

$\large \displaystyle \mathsf{ a_1 +a_2 +a_3 = 2 + 6 + 18 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_1 +a_2 +a_3 = 26 }$

Alternativa correta é a letra B.

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