Question

Se a reta que passa pelos pontos (1, 2a) e (3, 2) é paralela à reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, a + 1), qual o valor de a ?

Answer 1

Resposta:

$a = \frac{1}{2} .$

Explicação passo a passo:

Vamos analisar a reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, a + 1). Lembrando que a equação reduzida da reta é $y = mx + n$, veja que $1 = 0.m + n = n$, porque a reta passa pelo ponto $(0,1)$. Além disso, $(a + 1) = 1.m + n = m + 1$, porque a reta passa pelo ponto (1, a + 1).

Assim, m = a + 1 - 1 = a. Este é o valor do coeficiente angular da segunda reta. Para ela ser paralela à primeira reta, os coeficientes das duas retas devem ser os mesmos. Então, a primeira reta será da forma $y = mx + n_1 = ax + n_1$

Agora, vamos analisar a primeira reta: ela passa pelo ponto (3,2), então $2 = 3a + n_1$, ou $n_1 = 2 - 3a$. Além disso, a reta passa pelo ponto (1, 2a), logo, $2a = a + n_1$, portanto, $n_1 = 2a - a = a$. Substituindo $n_1 = a$ em $n_1 = 2 - 3a$, obtemos: $a = 2 - 3a$, então $4a = 2$, e finalmente, $a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Answer 2

✅ Após ter feito todos os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "a" que torna as retas "r" e "s" paralelas entre si é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a = \frac{1}{2} \:\:\:}} \end{gathered} }$

Dizemos que duas retas são paralelas quando elas possuem a mesma direção. Para isso, faz-se necessário que ambas possuam mesmo coeficiente angular.

O coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo que a referida reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo.

Então:

Sendo os pontos da reta "r":

             $\Large\begin{cases}A(1, 2a)\\B(3, 2) \end{cases}$                  

Sendo os pontos da reta "s":

              $\Large\begin{cases}C(0, 1)\\D(1, a + 1) \end{cases}$

Se:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}r\parallel s\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:m_{r} = m_{s} \end{gathered}$

Então, temos:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_{r} = m_{s} \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}tg\:\alpha = tg\:\beta \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{sen\:\alpha}{cos\:\alpha} = \frac{sen\:\beta}{cos\:\beta} \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{Y_{B} - Y_{A} }{X_{B} - X_{A} } = \frac{Y_{D} - Y_{C} }{X_{D} - X_{C} } \end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{2 - 2a}{3 - 1} = \frac{a + 1 - 1}{1 - 0} \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{2 - 2a}{2} = \frac{a}{1} \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}2 - 2a = 2a \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}-2a - 2a = -2 \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}-4a = -2 \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}4a = 2 \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = \frac{2}{4} \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = \frac{1}{2} \end{gathered}$

✅ Portanto, para que ambas as retas sejam paralelas o valor de "a" é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = \frac{1}{2} \end{gathered}$

Neste caso, para que as retas sejam paralelas os pontos notáveis da reta "r" são:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}A(1, 1)\\B(3, 2) \end{gathered}$

E os pontos notáveis da reta "s" são:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}C(0, 1)\\D(1, \frac{3}{2} ) \end{gathered}$

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