Question

Se a reta 3x – 4y = 0 é tangente ao gráfico de f(x) = x³+k no primeiro quadrante, então k vale:

A) 3
B) ¼
C) 0
D) - 3
E) - ¼​

Answer 1

Resposta:

B)

Explicação passo-a-passo:

Derivando a função $f(x)$, achamos $f'(x)=3x^2$. Sendo a reta tangente à função, o seu coeficiente angular deve ser igual ao valor da derivada da função naquele ponto. Podemos reescrever a equação da reta como $y=\frac{3}{4}\,x$, daí tiramos que o seu coeficiente angular é 3/4. Igualando esse valor a $f'(x)$:

$f'(x)=\frac{3}{4}$

$3x^2=\frac{3}{4}$

$x^2=\frac{1}{4}$

$x=\pm\frac{1}{2}$

Como a reta é tangente à função no 1º quadrante, a coordenada em $x$ deve ser positiva, logo concluímos que $x=1/2$. Substituindo esse valor na equação da reta, concluímos que a coordenada do ponto em $y$ é:

$y=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}$

$y=\frac{3}{8}$

Basta agora substituir os valores encontrados na função:

$f(1/2)=\frac{3}{8}$

$(\frac{1}{2})^3+k=\frac{3}{8}$

$\frac{1}{8}+k=\frac{3}{8}$

$k=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}$

$k=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$