Question

Se a matriz é simétrica, então o valor de x + y é:

Answer 1

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de matrizes simétricas que o valor de x+y=1✅

Matriz

Matriz são números reais dispostos em linhas e colunas.

exemplo: $\sf A=\begin{bmatrix}\sf 1&\sf2\\\sf3&\sf16\end{bmatrix}$

• As linhas são contadas na horizontal
• As colunas são contadas no vertical
• Cada elemento está muito bem localizado em termo de sua linha e coluna

Igualdade de matrizes

Duas matrizes são iguais quando os elementos de mesma posição também são iguais.

• matematicamente:

$\sf A=\begin{bmatrix}\sf a_{11}&\sf a_{12}\\\sf a_{21}&\sf a_{22}\end{bmatrix}\\\\\sf B=\begin{bmatrix}\sf b_{11}&\sf b_{12}\\\sf b_{21}&\sf b_{22}\end{bmatrix}\\\\\sf A=B\iff\begin{cases}\sf a_{11}=b_{11}\\\sf a_{12}=b_{12}\\\sf a_{21}=b_{21}\\\sf a_{22}=b_{22}\end{cases}$

Matriz transposta

Seja A uma matriz qualquer. Chama-se matriz transposta  aquela que pode ser obtida trocando-se as linhas pelas colunas e indica-se por $\sf A^T$

• exemplo:  

    $\sf A=\begin{bmatrix}\sf1&\sf2&\sf3\end{bmatrix}\\\sf A^T=\begin{bmatrix}\sf1\\\sf2\\\sf3\end{bmatrix}$

Matriz simétrica

Chama-se matriz simétrica a matriz cuja transposta é igual a original.

• exemplo:

     $\sf A=\begin{bmatrix}\sf3&\sf5\\\sf5&\sf3\end{bmatrix}\\\\\sf A^T=\begin{bmatrix}\sf3&\sf5\\\sf5&\sf3\end{bmatrix}$

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui vamos  usar a definição de matriz simétrica em conjunto com a igualdade matrizes, encontrar x e y e por fim somar os dois.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A=\begin{bmatrix}\sf2&\sf1&\sf-1\\\sf x^2&\sf0&\sf1-y\\\sf x&\sf y-3&\sf1\end{bmatrix}\\\\\sf A^T=\begin{bmatrix}\sf2&\sf x^2&\sf x\\\sf1&\sf0&\sf y-3\\\sf-1&\sf1-y&\sf1\end{bmatrix}\end{array}}$

Pela definição de matriz simétrica temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\\\begin{bmatrix}\sf2&\sf1&\sf-1\\\sf x^2&\sf0&\sf 1-y\\\sf x&\sf y-3&\sf1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf2&\sf x^2&\sf x\\\sf1&\sf0&\sf y-3\\\sf -1&\sf1-y&\sf1\end{bmatrix}\end{array}}$

Pela igualdade de matrizes podemos escrever:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x^2=1\\\sf x=-1\\\sf y-3=1-y\end{cases}\end{array}}$

para respeitar a igualdade de matrizes devemos garantir que o valor de x seja único. neste caso x=-1

vamos calcular y

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf y-3=1-y\\\sf y+y=1+3\\\sf 2y=4\\\sf y=\dfrac{4}{2}\\\\\sf y=2\end{array}}$

Somando x e y temos

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf x+y=-1+2\\\sf x+y=1\end{array}}$

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