Matemática, perguntado por moniquepimentelcruz, 9 meses atrás

Se a<0 qual deve ser o valir de c e o sinal de b para que a equação ax2+bx+c=0 tenha uma raiz igual a 0 e uma raiz negativa

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Em primeiro lugar, lembre-se que, com o auxílio das Relações de Girard para equações quadráticas (do segundo grau), a soma S e o produto P das raízes da equação ax² + bx + c = 0 (descrita no enunciado) são dados por:

\large\begin{array}{l} \bullet\ \ \boxed{\sf S=-\dfrac{b}{a}}\\ \\ \bullet\ \ \boxed{\sf P=\dfrac{c}{a}}\end{array}

Destarte, relembrando que a < 0 (negativo) e que 0 (zero) é uma raiz da equação, temos que P deve ser nulo, visto que o produto de qualquer valor por 0 é sempre 0. Baseado nisso, concluiremos o seguinte:

\sf\qquad\quad\,  P=\dfrac{c}{a}\\\\\\\ \implies\ \ \ 0=\dfrac{c}{a}\\\\\\ \implies\ \ \ a\cdot 0=\dfrac{c}{\diagup\!\!\!\!\!a}\cdot \diagup\!\!\!\!a\qquad (a&lt;0)\\\\\\ \implies\ \ \ 0=c\\\\ \implies\ \ \ \!\boxed{\sf c=0}

Como vimos, a equação ax² + bx + c = 0 admitirá raiz nula se, e só se, o termo independente c também for nulo. Posto isto, precisamos descobrir o sinal de b para que a outra raiz (que designarei por k), distinta de 0, seja negativa. Ora, se k < 0, então a soma S é obviamente um valor negativo, pois ela é obtida ao adicionarmos k ao elemento neutro da adição 0. Portanto, é válido dizer que:

{\sf\qquad\quad\ \,   S=k+0}\\\\\\ {\implies\ \ \ \sf S=k&lt;0}\\\\\\\ {\sf\implies\ \ \ S&lt;0}\\\\\\{\sf \implies\ \ \ \ \!\!-\dfrac{b}{a}\,&lt;\,0}\\\\\\\ {\sf \iff\ \ \ (-1)\cdot \dfrac{b}{a}\,&lt;\,0}\\\\\\ {\sf \iff\ \ \ (-1)\cdot (-1)\cdot \dfrac{b}{a}\,&gt;\,0\cdot (-1)}\\\\\\ {\sf \iff\ \ \ \dfrac{b}{a}\,&gt;\,0}\\\\\\ {\sf \implies\ \ \ \diagup\!\!\!\!a\cdot \dfrac{b}{\!\diagup\!\!\!\!a}\:&lt;\,0\cdot a\qquad (a&lt;0)}\\\\\\ {\sf \implies\ \ \ \boxed{\sf b\,&lt;\,0}}

Resposta: O valor de c é 0 (zero) e b deve ser um número negativo.


talessilvaamarp9tcph: Usando a forma fatorada faria mais rápido.
talessilvaamarp9tcph: Só não sei se usar a forma fatorada seria circular.
talessilvaamarp9tcph: E, claro, se nosso amigo aí entenderia.
Usuário anônimo: Utilizando a forma fatorada: ax² + bx + c = a(x - 0)(x - k) <=> ax(x - k) = ax² + bx + c <=> ax² - akx + 0 = ax² + bx + c <=> c = 0 e b = - ak < 0, visto que k < 0 <=> ak > 0 <=> - ak < 0. Do jeito que eu fiz (bem mais resumido): P = c/a => 0 = c/a => c = 0 e S = - b/a = k < 0 => - b > 0 => b < 0.
Usuário anônimo: Se tu for contar a quantidade de passos pra fazer do seu jeito, só que bem detalhado do jeito que eu resolvi acima (sem forma fatorada), dá mais ou menos a mesma coisa
Usuário anônimo: Esse seu caminho, como vc mesmo disse, talvez seria um pouquinho mais difícil de enxergar, ou até mesmo pra entender. Mesmo tendo respondido com muita pressa, essa ideia passou pela minha cabeça, porém ainda sim optei por fazer como fiz. A forma fatorada é, de fato, uma ótima ferramenta poderosa na resolução da maioria dos problemas envolvendo funções quadráticas.
Usuário anônimo: uma ferramenta*
talessilvaamarp9tcph: De fato, ficou "grande" pq vc explicou detalhadamente.
talessilvaamarp9tcph: Essa parada de enxergar é meio subjetiva também. É tipo geometria, tem uns problemas que tu fica horas fazendo com trigonometria, aí chega um maluco e desenha 3 retas e resolve com Pitágoras
Usuário anônimo: Verdade rs
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