Question

Se a função Receita é dada por R(x) = –2x² + 100x e a função Custo Total dada por
C(x) = x² +10x + 375, onde x representa a quantidade produzida e vendida, determine:


1) a função Lucro Total;
2) a função Lucro Marginal;
3) o lucro marginal ao nível de 10 unidades
4) a interpretação do resultado 3.

Answer 1

1) L(x)=R(x)-C(x)=-2x2+100x-x2-10x-375=-3x2+90x-375
2) C'(x)=-6x+90
3)L'(10)=-60+90=30

Answer 2

Dadas as funções da Receita:  $R_{(x)} = - 2x^{2} + 100x$ e o Custo total: $C_{(x)} = x^{2} +10x + 375$ onde x representa a quantidade produzida e vendida, temos que:

1) A função Lucro Total: é dada  pela diferença da receita e o custo total, para isso substituimos as dois funções e simplificamos a expressão:

$L_{(x)} = R_{(x)} - C_{(x)}\\\\L_{(x)} = (- 2x^{2} + 100x) - (x^{2} +10x + 375)\\\\L_{(x)} = -2x^{2} + 100x - x^{2} -10x - 375\\\\L_{(x)} = -2x^{2} - x^{2} -10x + 100x - 375\\\\L_{(x)} = -3x^{2} + 90x - 375$

2) A função Lucro Marginal: é dada quando achamos a derivada primeira da função do Lucro Total:

$L_{(x)} = -3x^{2} + 90x- 375\\\\L_{(x)}' = - 6x + 90 - 0\\\\L_{(x)}' =- 6x + 90$

3)O lucro marginal ao nível de 10 unidades: substituimos na função do lucro marginal as 10 unidades:

$L_{(x)}' =- 6x + 90\\\\L_{(10)}' = -6*(10) + 90\\\\L_{(10)}' = -60 + 90\\\\L_{(10)}' = 30$

4) a interpretação do resultado 3: o valor da receita marginal é menor aos custos marginais, por tanto, o lucro marginal ao nível de 10 unidades é positivo