Question

Se a função real f é definida por
$y = \frac{1}{x + 1}$
para todo x < 0, então
${y}^{ - 1} (x)$
é igual a:
​

Answer 1

Se a função real f é definida por  $\textstyle \sf \sf y = \frac{1}{x+ 1}$ para todo x > 0, então $\textstyle \sf \sf y^{-1} (x)$  é igual a:

De acordo com os dados do enunciado solucionado concluímos que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y^{-1} (x) = \dfrac{1}{x} - 1 } }$.

Seja $\boldsymbol{ \textstyle \sf f: A \to B }$ uma função injetora com domínio $\boldsymbol{ \textstyle \sf A }$ e imagem $\boldsymbol{ \textstyle \sf B }$. A inversa de $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$, denotada por $\boldsymbol{ \textstyle \sf f^{-1}: B \to A }$, é a função tal que $\boldsymbol{ \textstyle \sf f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y }$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf y = \dfrac{1}{x + 1} \quad (\:com ~ x > 0 \:) \\ \\ \sf y^{-1} ( x)= \: ? \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{1}{x+1} } }$

Trocam-se as variáveis x por y.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{1}{y +1} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ x \cdot (y +1) = 1 }$

Isola-se o y de um lado da igualdade.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y + 1 = \dfrac{1}{x} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{1}{x} - 1 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y^{-1} (x) = \dfrac{1}{x} - 1 }$

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