Question

Se a função f (x) ={(sen (3x)/(9x), se x=0)} se x ≠0 é contínua, o valor de L é:: 1/9 1/3 0 3 1?

Answer 1

L será 1/3

seja a função

$f(x)=\dfrac{sen(3x)}{9x}\,se\, x\neq0$

$f(x)=L se x=0$

podemos utilizar da demonstração de que

$lim_{x-->0} \dfrac{sen(x)}{x}=1$

esta demonstração usa o teorema do sanduíche

primeiro, perceba que, para pequenos valores de x (com x>0), teremos

$sen(x)<x<tan(x)$

se dividirmos tudo por x, teremos

$sen(x)/x<1<tan(x)/x$

podemos rearranjar como:

$sen(x)/x<1$

$1<sen(x)/(x.cos(x))==>cos(x)<sen(x)/x$

para x tendendo a zero, cos(x) tende a 1.

teremos então que

$cos(x)=1<sen(x)/x<1$

se ao invés de x, tivéssemos 3x, a demonstração seria equivalente. logo,

$lim_{x-->0} \dfrac{sen(3x)}{3x}=1$

e por isso, $lim_{x-->0} \dfrac{sen(3x)}{9x}=1/3$