Question

Se a função f: R - [2] → R é definida por f(x)=2x+1/x-2 e a função g: R - [2] → R é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a:
a) x/2
b) x²
c) 2x
d) 2x+3
e) x 

Answer 1

A função g(x) é igual a x.

Temos que $f(x)=\frac{2x+1}{x-2}$ e a função g é a função composta f(f(x)).

Sendo $f(x)=\frac{2x+1}{x-2}$, então f(f(x)) será:

$f(f(x))=\frac{2(\frac{2x+1}{x-2})+1}{\frac{2x+1}{x-2}-2}$.

Vamos resolver o numerador e o denominador separadamente.

No numerador temos que:

$\frac{4x+2}{x-2}+1 = \frac{4x+2+x-2}{x-2}=\frac{5x}{x-2}$.

Já no denominador, temos que:

$\frac{2x+1-2x+4}{x-2}=\frac{5}{x-2}$.

Então, podemos afirmar que a função f(f(x)) é da forma:

$f(f(x))=\frac{\frac{5x}{x-2}}{\frac{5}{x-2}}$

$f(f(x))=\frac{5x}{x-2}.\frac{x-2}{5}$

f(f(x)) = 5x/5

Simplificando a fração por 5, obtemos que:

f(f(x)) = x.

Portanto, g(x) = f(f(x)) = x.