Question

Se a figura abaixo é formada por 3 triângulos retângulos. Sabendo que a medida de BE é rais quadrada de 16, a medida do segmento AB é:

Answer 1

Como o ângulo DBE vale 45º, então o ângulo BED também vale 45º. Como esses ângulos são iguais, então o lado BD e o lado DE são iguais. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BDE, temos:

$BE^2 = BD^2 + DE^2 \\(16\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2 \\(16)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2x^2 \\256 \cdot 2 = 2x^2 \\x^2 = 256 \\x = 16$

Como o ângulo CBD vale 45º, então o ângulo BDC também vale 45º. Como esses ângulos são iguais, então o lado BC e o lado BD são iguais. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, temos:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 \\16^2 = y^2 + y^2 \\256 = 2y^2 \\y^2 = 128 \\y = \sqrt{128} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Como o ângulo ABC vale 45º, então o ângulo ACB também vale 45º. Como esses ângulos são iguais, então o lado AB e o lado AC são iguais. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

$BC^2 = AB^2 + AC^2  \\(8\sqrt{2})^2 = z^2 + z^2 \\(8)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot z^2 \\64 \cdot 2 = 2 \cdot z^2 \\z^2 = 64 \\z = 8$

Portanto, o segmento AB mede 8 (C).

Answer 2

a medida de BE é a hipotenusa do triângulo maior
então vamos achar a hipotenusa no triângulo médio que é o cateto adjacente do triângulo maior
então vamos usar cosseno
$\cos( \alpha ) = \frac{cateto \: adjacente \: }{hipotenusa}$
$\cos(45) = \frac{x}{16 \sqrt{2} } \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{x}{16 \sqrt{2} } \\ x = \frac{ \sqrt{2} \times 16 \sqrt{2} }{2} \\ x = \frac{16 \times 2}{2} \\ x = 16$
então temos que a hipotenusa do triângulo médio é 16 agora vamos achar a hipotenusa do triângulo menor que é o cateto adjacente do triângulo médio

usando cosseno de novo
$\cos(45) = \frac{x}{16} \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{x}{16} \\ x = \frac{ \sqrt{2} \times 16 }{2} \\ x = 8 \sqrt{2}$
agora já temos a hipotenusa do triângulo menor
E o segmento pedido aí nesse caso que é o segmento AB é o cateto adjacente do triângulo menor
então agora podemos determinar a medida de AB usando cosseno

$\cos(45) = \frac{x}{8 \sqrt{2} } \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{x}{8 \sqrt{2} } \\ \\ x = \frac{ \sqrt{2} \times 8 \sqrt{2} }{2} \\ \\ x = \frac{8 \times 2}{2} \\ x = 8$
o segmento AB mede 8m