Question

Se a equação x^2 - bx + 24 = 0 tem raízes x' = m-1 e x'' = 2m, determine

A) os possíveis valores para m

B) os possíveis valores para b

Answer 1

Para resolver esta questão, vamos utilizar a operação de Soma e Produto.Ela funciona da seguinte maneira:
$x1 + x2 = - \frac { b}{a} \\ x1 \times x2 = \frac{c}{ a}$
Então:
${x}^{2} - bx + 24 = 0 \\ a = 1 \\ c = 24$
$b = teremos \: que \: encontrar$
Então:

$x1 = (m - 1) \\ x2 = 2m$

Sabemos então:
$x1 \times x2 = \frac{c}{a} \\ (m - 1) \times 2m = 24$
Multiplicando os termos dentro do parenteses por 2m:
$2m \times m + 2m \times - 1 = 24 \\ 2 {m}^{2} - 2m - 24 = 0$
Resolvendo a equação de 2 Grau:
$delta = ( - 2) {}^{2} - 4 \times 1 \times - 24 \\ d = 196$
Descobrindo os valores de m:
$m = \frac{ - b + - \sqrt{d} }{2a} \\ m = \frac{ - ( - 2) + - \sqrt{196} }{2 \times 2} \\ m = \frac{2 + - 14}{4}$
Valor de m1:
$m1 = \frac{2 + 14}{4} \\ m1 = 4$
Valor de m2:
$m2 = \frac{2 - 14}{4} \\ m2 = - 3$
Assim, os valores de "m" são :
$m = 4 \\ m = - 3$
Agora vamos descobrir os valores de b:
Quando m=4:
$(m - 1) + 2m = - b \\ (4 - 1) + 2 \times 4 = - b \\ 3 + 8 = - b \\ - b = 11$

Quando m=-3:
$(m - 1) + 2m = - b \\ ( - 3 - 1) + 2 \times - 3 = - b \\ b = 10$
Assim, os valores de b são:
$quando \: m = 4) \\ b = -11 \\ quando \: m = - 3) \\ b = 10$