Se a equação quadrática x²-2nx+n+3=0 tem como conjunto solução { b/a+1 , a/b+1} o valor de n² é:
(A) 4
(B) 9
(C) 16
(D) 25
Soluções para a tarefa
Se o conjunto solução dessa equação é (b/a + 1) e (a/b + 1), esses são os dois valores possíveis para x.
Então:
x₁ = b/a + 1
x₂ = a/b + 1
Na equação do 2° grau, temos:
x² - 2nx + n + 3 = 0 (a = 1 / b = - 2n / c = n + 3)
A soma das raízes de uma equação do 2° grau é:
S = - b/a
S = - (-2n)/1
S = 2n
Logo:
x₁ + x₂ = 2n
b/a + 1 + a/b + 1 = 2n
b/a + a/b + 2 = 2n
b/a + a/b = 2n - 2 (I)
O produto das raízes de uma equação do 2° grau é:
P = c/a
P = (n + 3)/1
P = n + 3
Logo:
x₁·x₂ = n + 3
(b/a + 1) · (a/b + 1) = n + 3
ba/ab + b/a + a/b + 1 = n + 3
1 + b/a + a/b + 1 = n + 3
b/a + a/b + 2 = n + 3
b/a + a/b = n + 3 - 2
b/a + a/b = n + 1 (II)
Substituindo I em II, temos:
2n - 2 = n + 1
2n - n = 1 + 2
n = 3
Portanto:
n² = 3²
n² = 9
Alternativa B.
Se o conjunto solução dessa equação é (b/a + 1) e (a/b + 1), esses são os dois valores possíveis para x.
Então:
x₁ = b/a + 1
x₂ = a/b + 1
Na equação do 2° grau, temos:
x² - 2nx + n + 3 = 0 (a = 1 / b = - 2n / c = n + 3)
A soma das raízes de uma equação do 2° grau é:
S = - b/a
S = - (-2n)/1
S = 2n
Logo:
x₁ + x₂ = 2n
b/a + 1 + a/b + 1 = 2n
b/a + a/b + 2 = 2n
b/a + a/b = 2n - 2 (I)
O produto das raízes de uma equação do 2° grau é:
P = c/a
P = (n + 3)/1
P = n + 3
Logo:
x₁·x₂ = n + 3
(b/a + 1) · (a/b + 1) = n + 3
ba/ab + b/a + a/b + 1 = n + 3
1 + b/a + a/b + 1 = n + 3
b/a + a/b + 2 = n + 3
b/a + a/b = n + 3 - 2
b/a + a/b = n + 1 (II)
Substituindo I em II, temos:
2n - 2 = n + 1
2n - n = 1 + 2
n = 3
Portanto:
n² = 3²
n² = 9
Alternativa B.