Question

Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e $A^{t}$ sua transposta,determine A tal que A=2 .$A^{t}$

Answer 1

Seja a Matriz:
$A = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]$

Então sua matriz transposta será:
$A^t = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{array}\right]$

Queremos que $A=2.A^t$
Mas $2.A^t=2\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2a_{11}&2a_{21}\\2a_{12}&2a_{22}\end{array}\right]$

Então:
$\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2a_{11}&2a_{21}\\2a_{12}&2a_{22}\end{array}\right]$

Agora basta igualar cada um a seu correspondente:
$a_{11} = 2a_{11} =\ \textgreater \ a_{11} = 0$
$\left \{ {{a_{12} = 2.a_{21}} \atop {a_{21=2.a_{12}}}} \right.$
Por substituição vemos que:
$a_{12} = 0 \\ a_{21} = 0$
E por último:
$a_{22} = 2.a_{22} =\ \textgreater \ a_{22} = 0$

Logo a matriz A que satisfaz a condição dada é:
$A = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]$

O Mozean espera ter ajudado!