Question

Se A é uma matriz 3 X 4 e B uma matriz nxm, então
o existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.
existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B.
o existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.
o existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3​

Answer 1

Resposta:

As afirmativas corretas são "Existe $AB$ se, e somente se, $n=4$ e $m = 3$" e "Existe $AB$ se, e somente se, $n = 4$ e $m = 3$".

Explicação passo-a-passo:

Vamos analisar CADA UMA das alternativas e ver porque elas estão erradas ou corretas.

Primeiro, o enunciado nos disse que existem duas matrizes $A$ e $B$, tais que a matriz $A$ é $3 \times 4$ e a matriz $B$ é $n \times m$. Isso quer dizer que a matriz $A$ tem 3 linhas e 4 colunas, enquanto a matriz $B$ tem $m$ colunas e $n$ linhas. Note que aqui $m$ e $n$ são variáveis.

A primeira afirmação nos diz que existe uma matriz $A+B$ se, e somente se, $n = 4$ e $m = 3$. Isso significaria que a matriz $B$ teria 4 linhas e 3 colunas. Mas se nos lembrarmos um pouco de como é definida a soma de matrizes, vamos ver que duas matrizes só podem ser somadas se o número de linhas delas é o mesmo e o número de colunas das duas matrizes também é o mesmo. Note que se $A$ é $3 \times 4$ e $B$ é $4 \times 3$, o número de linhas da matriz $A$ é diferente do número de linhas da matriz $B$, então elas não podem ser somadas.

A segunda afirmação diz que a soma das duas matrizes $A$ e $B$ só vai ser igual se as duas matrizes forem iguais. Lembre-se que a soma de matrizes é simplesmente somar os números das entradas correspondentes, isto é, a entrada $c_{ij}$ da matriz resultante é a soma das entradas $a_{ij}$ e $b_{ij}$ das matrizes originais. Em forma de equação: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$. Essa soma entre as entradas é a soma normal, que é comutativa. Dessa forma, toda soma de matrizes é comutativa, não importa quais matrizes sejam, basta que seja possível somá-las. O problema com a afirmação do enunciado é que ele diz que a relação $A+B=B+A$ vale se, e somente se, $A = B$. Esse se, e somente se, quer dizer que se as matrizes forem iguais, então a relação vale, e a relação só vai valer se as matrizes forem iguais. Mas isso não é verdade, comutatividade vale mesmo se as matrizes não forem iguais.

Para as últimas duas frases, vamos lembrar que a multiplicação entre matrizes só está definida se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.

A terceira afirmação diz que as matrizes $AB$ e $BA$ vão existir se, e somente se $n=4$ e $m = 3$. Nesse caso, a matriz $B$ teria 4 linhas e 3 colunas. De fato, a matriz $AB$ existiria, pois nessa multiplicação, a primeira matriz é $A$, que tem 4 colunas, enquanto a segunda matriz é $B$ que tem 4 linhas, ou seja, dá pra multiplicar pois os números são iguais. O mesmo server para $BA$, em que a primeira matriz é $B$, que tem 3 colunas, e a segunda matriz é $A$, que tem 3 linhas.

Por fim, a última afirmação diz que existe $AB$ se, e somente se, $n = 4$ e $m = 3$. O que é basicamente o que nós discutimos na alternativa anterior, a diferença é que agora ele está falando só de $AB$, sem incluir $BA$. Então essa também está correta.