Question

Se a é um número par e se b é um número ímpar, qual dos seguintes números é par ?
3a+b+2
2a+3b+a
a+b2

Answer 1

Considere as seguintes regras:

par + par = par
par + ímpar = ímpar
ímpar + par = ímpar
ímpara + ímpar = par

par * par = par
par * ímpar = par
ímpar * par = par
ímpar * ímpar = ímpar

3a + b + 2 = 
3*(par) + ímpar + 2 =
par + ímpar + par =
ímpar

2a + 3b + a =
2*(par) + 3*(ímpar) + par =
par + ímpar + par =
ímpar

a + b2 =
par + (ímpar)*2 =
par + par =
par

Portanto, a + b2 é par.

Answer 2

O número a + b⋅2 é par.

• Um número é par se for múltiplo de 2, então pode ser representados por 2⋅n.

• Analise a parilidade do produto de dois números e da soma de dois números.

Parilidade da soma de dois números.

• Considere a soma de dois números pares:

(2⋅n₁) + (2·n₂) = 2 × (n₁ + n₂)

• Observe que resultou um número múltiplo de 2, então a soma de dois números pares é par.

• Um número ímpar pode ser representados por (nₚ+1) onde nₚ é um número par.

• Considere a soma de dois números ímpares (observe que n₁ e n₂ são pares):

(n₁ + 1) + (n₂ + 1) = n₁ + n₂ + 2

• Observe que resultou na soma de dois números pares mais 2. Se a soma de dois números pares é par então a soma de dois números pares mais 2 também é par e conclui-se então que a soma de dois números ímpares é par.

• Considere a soma de um número par com um número ímpar (observe que n₁ e n₂ são pares).

n₁ + (n₂ + 1) = n₁ + n₂ + 1

• Observe que resultou na soma de dois números pares mais 1, se a soma de dois números pares é par então a soma de dois números pares mais 1 é ímpar e consequentemente soma de um número par com um número ímpar é ímpar.

Conclui-se portanto que há as seguintes propriedades quanto à soma de dois números:

• ① A soma de dois números de mesma parilidade resulta par.
• ② A soma de dois números de parilidades diferentes resulta ímpar.

$\large \begin{array}{ccc} + & \sf Par & \sf \'Impar\\ \sf Par & p & i\\ \sf \'Impar & i &p\end{array}$

Parilidade do produto de dois (ou mais) números.

• Considere o produto de dois números pares:

(2⋅n₁) × (2·n₂) = 2 × (2⋅n₁ ⋅ n₂)

• Observe que resultou um número múltiplo de 2, então o produto de dois números pares é par.

• Considere o produto de dois números ímpares (observe que n₁ e n₂ são pares):

(n₁ + 1) × (n₂ + 1) = n₁⋅n₂ + n₁ + n₂ + 1

• Observe que resultou na soma de três números pares mais 1, então o produto de dois números ímpares é ímpar.

• Considere o produto de um número par com um número ímpar (observe que n₁ e n₂ são pares).

n₁ × (n₂ + 1) = n₁⋅n₂ + n₁

• Observe que resultou na soma de dois números pares, então o produto de dois números de parilidades diferentes é par.

Conclui-se portanto que há as seguintes propriedades:

• ③ Um produto é par se pelo menos um de seus fatores for par.
• ④ Um produto é impar se todos seus fatores forem ímpares.

$\large \begin{array}{ccc} \times & \sf Par &\sf \'Impar\\\sf Par & p & p\\ \sf \'Impar & p &i\end{array}$

• Analise as expressões algébricas do enunciado lembrando que
  a é par e b é ímpar. Considere:

nᵢ: número ímpar.

nₚ: número par.

3a + b + 2 é ímpar pois:

3a: par conforme propriedade ③, pois a é par.

b: ímpar conforme enunciado.

3a + b: nₚ + nᵢ = nᵢ  ⟹ ímpar conforme propriedade ②.

(3a + b) + 2: nᵢ + nₚ = nᵢ  ⟹ ímpar conforme propriedade ②.

2a + 3b + a é ímpar pois:

2a: par conforme propriedade ③.

3b: ímpar conforme propriedade ④.

2a + 3b: nₚ + nᵢ = nᵢ  ⟹ ímpar conforme propriedade ②.

(2a + 3b) + a: nᵢ + nₚ = nᵢ  ⟹ ímpar conforme propriedade ②.

Para o terceiro número será feito duas considerações: (a + b²) e (a + b⋅2)

a + b²  é ímpar pois:

b²: nᵢ · nᵢ = nᵢ ⟹ ímpar conforme propriedade ④.

a + b²: nₚ + nᵢ = nᵢ  ⟹ ímpar conforme propriedade ②.

a + b⋅2 é ímpar pois:

b⋅2: par conforme propriedade ③.

a + b⋅2: nₚ + nₚ = nₚ  ⟹ par conforme propriedade ①.

Resposta: O número a + b⋅2 é par.

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