Question

Se A é um conjunto com 7 subconjuntos não vazios, então quantos são os seus elementos?

Answer 1

Pense assim: Seu conjunto A possui n elementos. Cada subconjunto de A possui no mínimo 1 elemento e no máximo n elementos. Vamos supor um conjunto A com 3 elementos: a, b, c. 
Quais são os subconjuntos de A, não vazios, possíveis? São eles: 

{a}, {b}, {c}, {a;b}, {a;c}, {c,d} e {a,b,c}. 7 subconjuntos não vazios! 

Em outras palavras, o número de elementos de cada subconjunto de A é dado pela combinação linear de 3 elementos, tomados m a m, onde m = 1, 2 ou 3. 

Generalizando, para um conjunto A com n elementos, o número de elementos de cada subconjunto de A é dado pela combinação linear de n elementos, tomados m a m, onde m = 1, 2, 3,....,n. 

Aplicando isso ao problema, temos: 

31 = C(n,1) + C(n,2)+...+ C(n,n). Onde, C(n,m) = n!/[m! (n-m)!] 

Qual o método mais espertinho de resolver esse problema? 
Chutando! 
Pode ser meio frustrante, mas, chutar, aqui, é a melhor solução. 

Vamos lá! 

Se A tiver 4 elementos, teremos: 

4!/(1! * 3!) + 4!/(2! * 2!) + 4!/(3! * 1*) + 4!/(4! * 0!) = (4 * 3!)/3! + (4 * 3 * 2!)/4 + (4 * 3!)/3! + 1 = 
= 4 + 6 + 4 + 1 = 15. 

Bom, então, A possui mais que 4 elementos. Que tal 5? 
É só fazer do mesmo jeito que fiz acima! 

5!(1! * 4!) +....+ 5!/(5! * 0!) = 31. 

Pronto! Mais uma vitória do Bem! 

Não esqueça que n! = n * (n - 1) * (n - 2) * .... * 2! * 1! * 0!. 
Não esqueça também que 1! = 1 e que 0! = 1 também. 

Bom, se, por exemplo, alguém te perguntasse quanto vale 6!, você faria 
6! = 6 * 5 * 4 * 3 *2 *1 = 720. 

FIM 
:)