Question

Se "a" é um ângulo agudo tal que ctga = 12/5, encontre o valor de "ctg (oa / 2)"
A. 15
B. 12/5
C. 24/10
D. 10
E. 5​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{e)~\cot\dfrac{\alpha}{2}=5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Considerando um ângulo agudo positivo $\alpha$, isto significa que ele está no primeiro quadrante.

O enunciado diz que $\cot\alpha=\dfrac{12}{5}$, mas buscamos o valor de $\cot{\dfrac{\alpha}{2}}$.

Para isso, devemos relembrar algumas fórmulas

A cotangente é o inverso da tangente (mas não significa que é a função inversa, pesquise melhor sobre isso depois).

Ou seja, $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}$

Dessa forma, podemos encontrar o valor de $\tan\alpha$ substituindo o valor da cotangente

$\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{12}{5}$

Multiplique ambos os lados por $\dfrac{5}{12}\tan\alpha$

$\tan\alpha=\dfrac{5}{12}$.

Lembre-se que $\tan\alpha=\dfrac{2\cdot\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}$

Substitua o valor de $\tan\alpha$ e seja $\tan\dfrac{\alpha}{2}=t$, logo

$\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{5}{12}$

Multiplique os valores cruzados

$24\cdot t=5\cdot(1-t^2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$24t=5-5t^2$

Subtraia $5-5t^2$ em ambos os lados da equação

$5t^2+24t-5=0$

Utilizando a fórmula de Bháskara, é fácil calcular o valor de $t$

$t=\dfrac{-24\pm\sqrt{24^2-4\cdot5\cdot(-5)}}{2\cdot5}\\\\\\ t= \dfrac{-24\pm\sqrt{576+100}}{10}\\\\\\ t=\dfrac{-24\pm\sqrt{676}}{10}\\\\\\\ t=\dfrac{-24\pm26}{10}$

Como o ângulo é agudo, utilizamos somente a solução positiva

$t=\dfrac{-24+26}{10}\\\\\\ t=\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$

Voltando para a cotangente, teríamos por fim que

$\cot\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{\tan\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{5}\right)}$

Calcule a fração de fração

$\cot\dfrac{\alpha}{2}=5$

Este é o valor da cotangente da metade do ângulo $\alpha$.