Matemática, perguntado por gaburieru15, 10 meses atrás

Se "a" é um ângulo agudo tal que ctga = 12/5, encontre o valor de "ctg (oa / 2)"
A. 15
B. 12/5
C. 24/10
D. 10
E. 5​

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
1

Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{e)~\cot\dfrac{\alpha}{2}=5}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Considerando um ângulo agudo positivo \alpha, isto significa que ele está no primeiro quadrante.

O enunciado diz que \cot\alpha=\dfrac{12}{5}, mas buscamos o valor de \cot{\dfrac{\alpha}{2}}.

Para isso, devemos relembrar algumas fórmulas

A cotangente é o inverso da tangente (mas não significa que é a função inversa, pesquise melhor sobre isso depois).

Ou seja, \cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}

Dessa forma, podemos encontrar o valor de \tan\alpha substituindo o valor da cotangente

\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{12}{5}

Multiplique ambos os lados por \dfrac{5}{12}\tan\alpha

\tan\alpha=\dfrac{5}{12}.

Lembre-se que \tan\alpha=\dfrac{2\cdot\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\alpha}{2}}

Substitua o valor de \tan\alpha e seja \tan\dfrac{\alpha}{2}=t, logo

\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{5}{12}

Multiplique os valores cruzados

24\cdot t=5\cdot(1-t^2)

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

24t=5-5t^2

Subtraia 5-5t^2 em ambos os lados da equação

5t^2+24t-5=0

Utilizando a fórmula de Bháskara, é fácil calcular o valor de t

t=\dfrac{-24\pm\sqrt{24^2-4\cdot5\cdot(-5)}}{2\cdot5}\\\\\\ t= \dfrac{-24\pm\sqrt{576+100}}{10}\\\\\\ t=\dfrac{-24\pm\sqrt{676}}{10}\\\\\\\ t=\dfrac{-24\pm26}{10}

Como o ângulo é agudo, utilizamos somente a solução positiva

t=\dfrac{-24+26}{10}\\\\\\ t=\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}

Voltando para a cotangente, teríamos por fim que

\cot\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{\tan\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{5}\right)}

Calcule a fração de fração

\cot\dfrac{\alpha}{2}=5

Este é o valor da cotangente da metade do ângulo \alpha.


gaburieru15: incrível mano valeu mesmo
gaburieru15: ajudou muito <3
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