Question

Se a e ß são as soluções da equação x2 - sx + p = 0, então a2 + B2 é igual a ?​

Answer 1

Resposta:

$\alpha^{2} + \beta^{2} = S^{2} - 2P$ ou $\alpha^{2} + \beta^{2} = \frac{b^{2} - 2ca}{a^{2} }$

Explicação passo a passo:

Olha, agora fiquei sem ter certeza do que a questão pede:

$\alpha^{2} + \beta^{2} =?$  ou $a^{2} + b^{2} = ?$

Farei os dois:

$\alpha$ e $\beta$ são raízes de  $x^{2} - Sx + P = 0$

$S = - \frac{b}{a}$  

$P = \frac{c}{a}$

Logo:

$\alpha ^{2} - (-\frac{b}{a} )\alpha +\frac{c}{a} = 0$ (EQ. I)

$\beta^{2} - (-\frac{b}{a})\beta + \frac{c}{a} = 0$ (EQ. II)

Dado que ambas equações são iguais a zero basta igualar-las, ou seja, faça (EQ. I) = (EQ. II)

$\alpha ^{2} - (-\frac{b}{a} )\alpha +\frac{c}{a} = \beta^{2} - (-\frac{b}{a})\beta + \frac{c}{a}$

$\alpha ^{2} + \frac{b}{a}\alpha = \beta^{2} + \frac{b}{a}\beta \\\\\alpha ^{2} - \beta^{2} = \frac{b}{a} *(\beta - \alpha )\\\\\alpha ^{2} - \beta^{2} =-\frac{b}{a} *(\alpha - \beta )$

$\alpha^{2} - \beta^{2} = (\alpha +\beta)(\alpha -\beta)$

$(\alpha +\beta)(\alpha -\beta)= -\frac{b}{a} *(\alpha - \beta )\\\\\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:

$(\alpha +\beta )^{2} = (-\frac{b}{a})^{2} \\\\\alpha^{2} + 2\alpha \beta + \beta^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}} \\\\\alpha^{2} + \beta^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}} - 2\alpha \beta$

Sabemos que:

$\alpha$ e $\beta$  são raízes de  $x^{2} - Sx + P = 0$

Portanto:

$\alpha \beta = \frac{\frac{c}{a} }{1} \\\alpha \beta = \frac{c}{a}\\2\alpha \beta =2\frac{c}{a}$

Portanto:

$\alpha^{2} + \beta^{2} = \frac{b^{2} }{a^{2} } - 2\frac{c}{a}\\\\\alpha^{2} + \beta^{2} = \frac{b^{2} - 2ca}{a^{2} }$

Ou caso queira deixar em função de S e P:

$\alpha^{2} + \beta^{2} = S^{2} - 2P$