Question

Se a é o produto de todos os inteiros entre 2 e 24, inclusive, qual é o maior inteiro b para o qual 35^b (35 elevado a b) é um fator de a?

Answer 1

De acordo com o enunciado, temos

     $\mathsf{\displaystyle a=2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 23\cdot 24=\prod_{k=2}^{24} k}$


Temos também que

     $\mathsf{35^b=(5\cdot 7)^b=5^b\cdot 7^b}$


A ideia aqui seria colocar em evidência o máximo de fatores de  5  e de  7  que aparecem na decomposição de  a.  Observe que

     •  a  é múltiplo de

     $\mathsf{5\cdot 10\cdot 15\cdot 20}\\\\ \mathsf{=(5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}\\\\ \mathsf{=5^4\cdot 4!}$


     •  a  é múltiplo de

     $\mathsf{7\cdot 14\cdot 21}\\\\ \mathsf{=(7\cdot 7\cdot 7)\cdot (1\cdot 2\cdot 3)}\\\\ \mathsf{=7^3\cdot 3!}$


Como  5  e  7  são primos, concluímos que

     a  é múltiplo de

     $\mathsf{5^4\cdot 7^3}\\\\\ =\mathsf{5\cdot (5^3\cdot 7^3)}\\\\ =\mathsf{5\cdot (5\cdot 7)^3}\\\\ \mathsf{=5\cdot 35^3}$


Sendo  b = 3  o maior expoente para  35  de modo que  a  é múltiplo de  $\mathsf{35^b.}$


Resposta:  b = 3.


Bons estudos! :-)