Question

Se a é o menor valor que satisfaz a inequação |1−8x| ≤ 3 e sen(y) = a, então o valor da constante k, que satisfaz a igualdade sen(2y) = k cotg(y), é:

Answer 1

$\bullet\;\;$ Resolver a inequação $\left|1-8x\right|\leq 3$ para encontrar o valor de $a:$

$\left|1-8x\right|\leq 3\\ \\ -3 \leq 1-8x \leq 3$


Adicionando $-1$ a todos os membros da dupla desigualdade acima, temos

$-1-3 \leq -1+1-8x \leq -1+3\\ \\ -4 \leq -8x \leq 2$


Multiplicando a dupla desigualdade por $-1$, que é um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte, e temos

$4 \geq 8x \geq -2\\ \\ -2 \leq 8x \leq 4$


Dividindo todos os membros por $8,$ temos

$-\dfrac{2}{8} \leq \dfrac{8x}{8} \leq \dfrac{4}{8}\\ \\ \\ -\dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{2}$


O menor valor que satisfaz a inequação é

$a=-\dfrac{1}{4}$



$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}y=a\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{sen\,}y=-\dfrac{1}{4}$

$\cos^{2} y=1-\mathrm{sen^{2}\,}y\\ \\ \cos^{2} y=1-\left(-\dfrac{1}{4} \right)^{2}\\ \\ \cos^{2} y=1-\dfrac{1}{16}\\ \\ \cos^{2} y=\dfrac{16-1}{16}\\ \\ \cos^{2} y=\dfrac{15}{16}\\ \\ \cos y=\pm \sqrt{\dfrac{15}{16}}\\ \\ \cos y=\pm \dfrac{\sqrt{15}}{4}$



Encontrando o valor de $k:$

$\mathrm{sen\,}2y=k\mathrm{\,cotg\,}y\\ \\ 2\mathrm{\,sen\,}y\cos y=k\cdot \dfrac{\cos y}{\mathrm{sen\,}y}$


Mas $\cos y=\pm \dfrac{\sqrt{15}}{4}\neq 0.$ Portanto, podemos dividir os dois lados da igualdade por $\cos y,$ chegando a

$2\mathrm{\,sen\,}y=k\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen\,}y}\\ \\ 2\mathrm{\,sen^{2}\,}y=k\\ \\ k=2\cdot \left(-\dfrac{1}{4} \right )^{2}\\ \\ \\ k=2\cdot \dfrac{1}{16}\\ \\ \\ k=\dfrac{1}{8}$