Se "a" e "b" são raízes da equação x² -2x +3 = 0, determine o valor de 3^a+b + 3^a.b
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1
Vamos lá.
Veja, Lolapinzon, que a resolução é simples.
Tem-se que "a" e "b" são raízes da equação: x² - 2x + 3 = 0.
A partir disso, pede-se o valor de: 3ᵃ⁺ᵇ + 3ᵃ*ᵇ
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos resolver a equação dada, que é esta:
x² - 2x + 3 = 0 ---- vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
x = [-(-2) ± √(-2)² - 4*1*3)]/2*1
x = [2 ± √(4 - 12)]/2
x = [2 ± √(-8)]/2 --- note que o delta, como visto, é negativo. E não existe raiz quadrada de números negativos no âmbito dos números reais. No entanto, existe no campo dos complexos. Então vamos resolver a equação acima no campo dos complexos. Assim, teremos:
x = [2 ± √(-8)]/2 ---- note que √(-8) = √(8)*√(-1). Assim, ficaremos:
x = [2 ± √(8)*√(-1)]/2 ---- veja que 8 = 2³ = 2².2; e √(-1) = i. Assim, ficaremos:
x = [2 ± √(2².2)*i)]/2 ---- note que o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:
x = [2 ± 2√(2)*i)]/2 ---- vamos passar o "i" para logo depois do "2" que está multiplicando √(2), pois, na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto. Então ficaremos assim:
x = [2 ± 2i√(2)]/2 ----- simplificando-se cada fator por "2", ficaremos apenas com
x = [1 ± i√(2)] ---- ou, o que é a mesma coisa:
x' = 1 - i√(2) <---- Esta será a raiz "a"
x'' = 1 + i√(2) <----- Esta será a raiz "b".
ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é encontrar o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:
y = 3ᵃ⁺ᵇ + 3ᵃ*ᵇ ---- substituindo-se "a" por 1-i√(2) e "b" por 1+i√(2), teremos:
y = 3^(1-i√2+1+i√2) + 3^[(1-i√2)*(1+i√2)] ---- efetuando a soma e o produto indicados, iremos ficar assim:
y = 3⁽¹⁺¹⁾ + 3^(1² - i²*2) --- (lembre-se que (a-b)*(a+b) = a²-b²), ou, o que é a mesma coisa:
y = 3² + 3^(1 - 2*i²) ----- veja que i² = -1. Assim, ficaremos:
y = 3² + 3^(1-2*(-1)) --- desenvolvendo ficaremos com:
y = 3² + 3⁽¹⁺²⁾ --- ou:
y = 3² + 3³ ---- como 3² = 9 e 3³ = 27, teremos:
y = 9 + 27
y = 36 <---- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor da expressão pedida.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Lolapinzon, que a resolução é simples.
Tem-se que "a" e "b" são raízes da equação: x² - 2x + 3 = 0.
A partir disso, pede-se o valor de: 3ᵃ⁺ᵇ + 3ᵃ*ᵇ
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos resolver a equação dada, que é esta:
x² - 2x + 3 = 0 ---- vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
x = [-(-2) ± √(-2)² - 4*1*3)]/2*1
x = [2 ± √(4 - 12)]/2
x = [2 ± √(-8)]/2 --- note que o delta, como visto, é negativo. E não existe raiz quadrada de números negativos no âmbito dos números reais. No entanto, existe no campo dos complexos. Então vamos resolver a equação acima no campo dos complexos. Assim, teremos:
x = [2 ± √(-8)]/2 ---- note que √(-8) = √(8)*√(-1). Assim, ficaremos:
x = [2 ± √(8)*√(-1)]/2 ---- veja que 8 = 2³ = 2².2; e √(-1) = i. Assim, ficaremos:
x = [2 ± √(2².2)*i)]/2 ---- note que o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:
x = [2 ± 2√(2)*i)]/2 ---- vamos passar o "i" para logo depois do "2" que está multiplicando √(2), pois, na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto. Então ficaremos assim:
x = [2 ± 2i√(2)]/2 ----- simplificando-se cada fator por "2", ficaremos apenas com
x = [1 ± i√(2)] ---- ou, o que é a mesma coisa:
x' = 1 - i√(2) <---- Esta será a raiz "a"
x'' = 1 + i√(2) <----- Esta será a raiz "b".
ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é encontrar o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:
y = 3ᵃ⁺ᵇ + 3ᵃ*ᵇ ---- substituindo-se "a" por 1-i√(2) e "b" por 1+i√(2), teremos:
y = 3^(1-i√2+1+i√2) + 3^[(1-i√2)*(1+i√2)] ---- efetuando a soma e o produto indicados, iremos ficar assim:
y = 3⁽¹⁺¹⁾ + 3^(1² - i²*2) --- (lembre-se que (a-b)*(a+b) = a²-b²), ou, o que é a mesma coisa:
y = 3² + 3^(1 - 2*i²) ----- veja que i² = -1. Assim, ficaremos:
y = 3² + 3^(1-2*(-1)) --- desenvolvendo ficaremos com:
y = 3² + 3⁽¹⁺²⁾ --- ou:
y = 3² + 3³ ---- como 3² = 9 e 3³ = 27, teremos:
y = 9 + 27
y = 36 <---- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor da expressão pedida.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Agradecemos à moderadora Camponesa pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
Perdão, não entendi o método composto utilizado pra resolver a raiz negativa de oito, existe outra forma de resolver, talvez por mmc?
Não, amigo. Quando uma raiz quadrada é negativa, então você a resolve no campo dos números complexos, que foi o que fizemos (pois no âmbito dos números reais, ela simplesmente não existe). Por isso é que nós a resolvemos no campo dos números complexos e encontramos a resposta que foi dada acima. Ok, amigo?
Continuando...... Por exemplo: se você se defrontasse, no final da resolução de uma equação com a seguinte raiz: x = √(-4) . Se a questão pedisse que você encontrasse um valor real, então você já poderia dizer: não existe valor real para "x', pois não há raiz quadrada de número negativo. Mas, no entanto, o resultado poderá ser encontrado no âmbito dos complexos. E
Continuando..... E, então você faria: x = √(-4) -----> Note que √(-4) = √(4)*√(-1) -----> Como √(4) = 2 e √(-1) = i, então você faria que: x = 2*i ---> x = 2i. <--- Pronto. Então a resposta, no âmbito dos complexos, seria o valor que demos aí em cima. Entendeu, Laycezaro? Disponha sempre e um abraço.
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