Question

Se a e b são números positivos, mostre que números são

√ab ≤ 1/2 (a + b).

Answer 1

Resposta:

√ab ≤ 1/2 (a + b

...sabemos que  a e b são positivos , então podemos afirmar que:

(√a-√b)²  ≥ 0    

a-2√ab+b  ≥0

a+b≥ 2√ab

(1/2)* (a+b) ≥ √ab

ou

√ab  ≤ (1/2)* (a+b) ..c.q.p.

Answer 2

O exercício solicita a demonstração de um caso particular (quando temos apenas dois números reais positivos) da desigualdade existente entre a Média Aritmética Simples e a Média Geométrica Simples de números reais positivos quaisquer. Matematicamente, o referido caso é expresso por:

$\mathsf{\qquad\quad\, a,\,b\,\in\,\mathbb{R_{+}^{*}}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\!\sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\! \sqrt{ab}\leq \dfrac{1}{2}\,\big(a+b\big)\qquad(i)}$

Lembre-se que o próprio enunciado informa-nos sobre o fato de a e b serem maiores que zero (positivos), sendo assim, para provar a validade da desigualdade (i) deve-se partir do resultado:

$\mathsf{\qquad\quad\ a,\,b\,\in\,\mathbb{R_{+}^{*}}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad\Big(\!\sqrt{a}\,-\sqrt{b}\,\Big)^{\!\!2}\geq 0\qquad(ii)}$

A partir de (ii), segue a primeira parte da demonstração de (i):

$\mathsf{\qquad\quad\ a,\,b\,\in\,\mathbb{R_{+}^{*}}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad\Big(\!\sqrt{a}\,-\sqrt{b}\,\Big)^{\!\!2}\geq 0}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad \!\!\Big(\!\sqrt{a}\Big)^{\!2}-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\!\sqrt{b}\right)^{\!2}\geq 0}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\!\sqrt{a^2}-2\sqrt{ab}+\sqrt{b^2}\geq 0}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\! |a|-2\sqrt{ab}+|b|\geq 0}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\! |a|+|b|\geq 2\sqrt{ab}\qquad(iii)}$

Vimos que a e b são números reais positivos, o que acarreta |a| + |b| = a + b. Assim sendo, a expressão equivalente à desigualdade (iii) (indicada por (iv)), para a e b positivos, e também a segunda parte (final) da demonstração acima, encontram-se logo abaixo:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \,a+b\geq 2\sqrt{ab}\qquad(iv)}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad \dfrac{a+b}{2}\geq \dfrac{\diagup\!\!\!\!2\sqrt{ab}}{\diagup\!\!\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad\sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad \sqrt{ab}\leq \dfrac{1}{2}\,\big(a+b\big)}$

$\blacksquare$

Liziamarcia, um grande abraço!