Question

Se a e b são números positivos, mostre que √ab ≤ 1/2 (a + b).

Answer 1

O exercício solicita a demonstração de um caso particular (quando temos apenas dois números reais positivos) da desigualdade existente entre a Média Aritmética Simples e a Média Geométrica Simples de números reais positivos quaisquer. Matematicamente, o referido caso é expresso por:

$\mathsf{\qquad\quad\, a,\, b\,\in\,\mathbb{R_{+}^{*}}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\! \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\! \sqrt{ab}\leq \dfrac{1}{2}\,\big(a+b\big)\qquad(i)}$

Lembre-se que o próprio enunciado informa-nos sobre o fato de a e b serem maiores que zero (positivos), sendo assim, para provar a validade da desigualdade (i) deve-se partir do resultado:

$\mathsf{\qquad\quad\ a,\,b\,\in\,\mathbb{R_{+}^{*}}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad\Big(\!\sqrt{a}\,-\sqrt{b}\,\Big)^{\!\!2}\geq 0\qquad(ii)}$

A partir de (ii), segue a primeira parte da demonstração de (i):

$\mathsf{\qquad\quad\ a,\,b\,\in\,\mathbb{R_{+}^{*}}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad\Big(\!\sqrt{a}\,-\sqrt{b}\,\Big)^{\!\!2}\geq 0}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad \!\!\Big(\!\sqrt{a}\Big)^{\!2}-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\!\sqrt{b}\right)^{\!2}\geq 0}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\!\sqrt{a^2}-2\sqrt{ab}+\sqrt{b^2}\geq0}\\\\\\\mathsf{\!\!\!\iff\quad\! |a|-2\sqrt{ab}+|b|\geq0}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\quad\! |a|+|b|\geq2\sqrt{ab}\qquad(iii)}$

Vimos que a e b são números reais positivos, o que acarreta |a| + |b| = a + b. Assim sendo, a expressão equivalente à desigualdade (iii) (indicada por (iv)), para a e b positivos, e também a segunda parte (final) da demonstração acima, encontram-se logo abaixo:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \,a+b\geq 2\sqrt{ab}\qquad (iv)}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad \dfrac{a+b}{2}\geq \dfrac{\diagup\!\!\!\!2 \sqrt{ab}}{\diagup\!\!\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad \sqrt{ab}\leq \dfrac{1}{2}\, \big(a+b\big)}$

$\blacksquare$

Luiz, um grande abraço!

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

(a-b)² ≥ 0

a²-2ab+b² ≥ 0

a²+b² ≥ 2ab

a²+2ab+b² ≥ 2ab+2ab

(a+b)² ≥ 4ab

√(a+b)² ≥ √4ab

(a+b) ≥ 2√ab

(a+b)/2 ≥ √ab

√ab ≤ (a+b)/2