Question

Se A e B são matrizes genéricas, quadradas, invertíveis e de ordem n, resolva as equações matriciais.

a)AX=In
b)A (elevado a -1) X=B
c)XA + B=A

Answer 1

A multiplicação de matrizes não é comutativa, isso quer dizer que, nem sempre, A*B=B*A, com A e B matrizes. Sendo assim, se você multiplicar ambos os membros de uma equação matricial por A a ordem tem que ser respeitada: se você multiplicou por A pela direita no primeiro membro você também tem que multiplicar pela direita no segundo membro. Isso vai ficar mais claro nos exercícios.
Outra coisa que não existe em matrizes é divisão, mas existe algo bastante parecido com isso: multiplicação pela inversa. Isso também aparecerá em alguma resolução, então não se preocupe :D

Lembrando que:
$1: \ A.A^{-1}=I_n \\ 2: \ I_n.A=A.I_n=A$

$a) \ AX=I_n \\ \\ \mathrm{Multiplicando \ por \ A^{-1} \ pela \ esquerda \ em \ ambos \ os \ membros} \\ \\ A^{-1}(AX)=A^{-1}.I_n\Rightarrow(A^{-1}.A)X=A^{-1}\Rightarrow I_n.X=A^{-1} \\ \\ \boxed{\boxed{X=A^{-1}}}$


$b) \ A^{-1}X=B \Rightarrow A(A^{-1}X)=AB\Rightarrow (AA^{-1})X=AB\Rightarrow I_n.X=AB \\ \\ \boxed{\boxed{X=AB}}$


$c) \ XA+B=A\Rightarrow XA=A-B \\ \\ \mathrm{Multiplicando \ por \ A^{-1} \ pela \ direita \ em \ ambos \ os \ membros} \\ \\ (XA)A^{-1}=(A-B)A^{-1}\Rightarrow X(AA^{-1})=AA^{-1}-BA^{-1}\Rightarrow \\ \Rightarrow X.I_n=I_n-BA^{-1} \\ \\ \boxed{\boxed{X=I_n-BA^{-1}}}$