Question

 Se
a e b são inteiros primos entre si, demonstre que mdc((2a+ b,a + 2b) = 1 ou 3.

24) 
Decomponha em fatores  primos 234, 456 e 780

25) 
Ache o máximo divisor comum dos
seguintes pares de números através da 
decomposição desses números em fatores primos:

a)      234
e 456

b)      b) 456
e 780    c)200 e 480

Answer 1

1) Se $a$ e $b$ são primos entre si, então $\text{mdc}(a,b)=1$.

Pelo Algoritmo do MDC de Euclides, $\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(a,b-c\cdot a)$.

Assim, $\text{mdc}(2a+b,a+2b)=\text{mdc}(2a+b,a+2b-2a-b)=\text{mdc}(2a+b,b-a)$.

$\text{mdc}(2a+b,b-a)=\text{mdc}(b-a,2a+b-b+a)=\text{mdc}(b-a,3a)$.

Deste modo, $\text{mdc}(2a+b,a+2b)=\text{mdc}(b-a,3a)$.

Se $3~|~b-a$, teremos $\text{mdc}(2a+b,a+2b)=3$.

Se $3~|~b-a$, teremos $\text{mdc}(2a+b,a+2b)=1$.

24)

$234=2\times3^2\times13$

$456=2^3\times3\times19$

$780=2^2\times3\times5\times13$

25)

a) $\text{mdc}(234,456)=2\times3=6$

b) $\text{mdc}(456,780)=2^2\times3=12$

c) $\text{mdc}(234,780)=2\times3\times13=78$