Question

Se a e b, a < b, são soluções da equação $x^{log\frac{x}{5}} = \frac{x^4}{125}$, então o valor de $\frac{1}{2}$(a - b) é

a) 125
b) 120
c) 60 - correta
d) 3
e) 1

Answer 1

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor dessa expressão é igual a 60

• Propriedades dos logaritmos:

Os logaritmos são ferramentas matemáticas que foram introduzidas pelo matemático John Napier no início do século XVII como um meio de simplificar operações muito complexas para operações mais simples com menos cálculos.

Como sabemos, os logaritmos têm suas próprias propriedades, assim como outras ferramentas matemáticas. Algumas dessas propriedades são:

• O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

$\sf \ell o g \left(x\cdot y\right) = \ell o g \left(x\right)+\ell o g \left(y\right)$

• O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador.

$\sf \ell o g \left(\dfrac{x}{y}\right) = \ell o g \left(x\right)-\ell o g \left(y\right)$

• O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

$\sf \ell o g \left(x^y\right) = y \ell o g \left(x\right)$

Levando tudo isso em consideração, podemos encontrar a solução para o nosso problema.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema diz que se a e b, a < b (b menor que a), são apenas as soluções da equação logarítmica $x^{\ell o g_5 \left(x\right)} = \dfrac{x^ 4}{ 125}$, então o valor da expressão $\dfrac{ \left(a - b\right)}{2}$ será:

Neste momento devemos aplicar logaritmos em ambos os dados da equação, isso para preservar a igualdade e também para poder resolver o problema se não aplicarmos os logaritmos em ambas as partes é possível que não obtenhamos o solução.

• Fazendo isso dá a equação:

$\ell o g _ 5 \left(x^{\ell o g_5 \left(x\right)} \right)= \ell o g _5 \left(\dfrac{x^ 4}{ 125}\right)$

Feito isso, podemos aplicar as regras dos logaritmos para obter uma expressão mais simples. Nesta operação podemos aplicar dois tipos de propriedades, este é o quociente de uma divisão e o das potências, se aplicarmos essas propriedades obtemos a equação:

$\ell o g _ 5 \left(x^{\ell o g_5 \left(x\right)} \right)= \ell o g _5\left(\dfrac{x^ 4}{ 125}\right)\\\\ \ell o g _ 5 \left(x \right)\cdot \ell o g _5\left(x \right) = \ell o g_ 5 \left(x^4\right)- \ell o g_ 5\left(125\right)\\\\ \ell o g _ 5 \left(x \right)\cdot \ell o g _5\left(x \right) =4 \ell o g_ 5 \left(x\right)- \ell o g_ 5\left(125\right)$

Nesta expressão é possível resolver apenas um logaritmo, lembre-se que por definição o logaritmo de um número é igual a:

$\ell o g_ n\left( y\right) = x \\\\ n^ x= y$

Então aplicando esta definição com o logaritmo de base 5 de 125 obtemos o que é igual a:

$5 ^ x =125\\\\ 5 ^ x =5 ^3\\\\ x = 3$

Então, levando em consideração esse resultado e substituindo na expressão, temos:

$\ell o g _ 5 \left(x \right)\cdot \ell o g _5\left(x \right) =4 \ell o g_ 5 \left(x\right)- 3$

Vemos que em nossa expressão a operação de logaritmos de base 5 de x se repete muito, o que pode ser feito com todas essas expressões iguais será isolada em uma variável, escolhemos a variável "u", lembrando que $u = \ell o g _ 5\left(x\right)$.

Substituindo esta variável em todas as partes da nossa equação, obtemos:

$u\cdot u =4 u- 3\\\\ u ^2 - 4 u + 3=0$

Esta expressão tem a forma de uma equação de segunda ordem, este tipo de equações podem ser resolvidas pelo método de Bhaskara, a fórmula de Bhaskara tem como expressão:

$u _{1,2} =\dfrac{- b\pm \sqrt{b ^2 - 4 a c}}{2 a}$

Onde a, b e c são os coeficientes que multiplicam alguma variável não incluindo "c" pois é um coeficiente independente.

Então, levando em consideração esta expressão e nossa expressão, será possível substituir nossas variáveis por essa mesma fórmula para encontrar as soluções de nossa equação de segunda ordem.

$u _{1,2} =\dfrac{- (-4)\pm \sqrt{ - 4 ^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}\\\\u _{1,2} =\dfrac{4\pm \sqrt{ 16 - 12}}{2 }\\\\u _{1,2} =\dfrac{4\pm \sqrt{ 4}}{2 } \\\\ u _{1,2}=\dfrac{4\pm 2}{2}$

• Extraindo ambas soluções para a variável u:

$u _{1} =\dfrac{4+ 2}{2}= \dfrac{6}{2}= 3\\\\ u _{2} = \dfrac{4-2}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

Conhecendo os valores que a variável "u" representa, podemos extrair as soluções da variável "x" lembrando que $u =\ell o g_5\left(x\right)$

Se combinarmos os valores de "u" de acordo com nossa operação, obtemos os valores:

$\ell o g_5\left(x\right)=3\\\\ 5^{\ell o g _5 \left(x \right)} = 5 ^3 \\\\ x = 125\\\\ \rule{10cm}{0.01mm}\\\\\ell o g _ 5\left(x\right)=1 \\\\ 5 ^{\ell o g _5 \left(x\right) }= 5^1 \\\\ x = 5$

Substituindo esses valores na expressão e também levando em conta a condição do nosso problema, obtemos:

$\dfrac{(a - b)}{2}=\dfrac{ \left(125 - 5\right)}{2}\\\\\\ \dfrac{(a - b)}{2}=\dfrac{120}{2} \\\\\\\ \bf \boxed{\boxed{\bf \dfrac{(a - b)}{2}= 60}}$

Feitos os cálculos, acabamos de concluir que o valor dessa expressão é 60.

Veja mais sobre o tópico de equações logarítmicas nos links a seguir:

• https://brainly.com.br/tarefa/45669636