Matemática, perguntado por matteuscolombo12, 11 meses atrás

Se a divide b e b divide c então a divide c

Soluções para a tarefa

Respondido por Ichr

Sim,essa relação de transitividade vale.

Prova :

Se a divide b , então existe k ∈ Z ( k ≠ 0) tal que b = ak.Se,por sua vez, b divide c , então c = by, para algum y ∈ Z (y ≠ 0). Ora,mas b = ak.Logo, c = aky. Já que k,y ∈Z,então ky ∈ Z.Por conseguinte, a divide c.

Respondido por solkarped

✅ Após desenvolver completamente a demonstração algébrica, concluímos que, de fato:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a|c\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a proposição:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underbrace{Se\:a|b\:e\:b|c}_{\bf Hip\acute{o}tese},\underbrace{ent\tilde{a}o\:c|a}_{\bf Tese} \end{gathered}$}$

Para provarmos esta proposição devemos utilizar o processo algébrico.

Desta forma, podemos dizer que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} b\:\acute{e}\:m\acute{u}ltiplo\:de\:a\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} c\:\acute{e}\:m\acute{u}ltiplo\:de\:b\end{gathered}$}$

A partir dessas afirmações, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\exists\lambda\in\mathbb{Z}\:|\:b = \lambda a \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\exists\gamma\in\mathbb{Z}\:|\:c = \gamma b \end{gathered}$}$

Desta forma temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} b = \lambda a\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}c = \gamma b \end{gathered}$}$

Substituindo o valor de "b" na equação "II", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}c = \gamma(\lambda a) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \gamma\lambda a \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \underbrace{(\gamma\lambda)}_{\bf \kappa}a \end{gathered}$}$

Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}c = \kappa a,\:\:\:\forall\kappa\in\mathbb{Z} \end{gathered}$}$